类型:学习教育
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问答题“解三角形”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准(实验)》要求学生“能通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题;能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题”。
(1)请设计一道三角形度量问题并求解;
(要求:同时用勾股定理和正弦定理解决的实际应用题;体现出两者的相通性。)
(2)给出正弦定理推导过程的教学设计,并说明设计意图。
参考答案:(1)如图,船从港口B航行到港口C,测得BC的距离为600m,船在港口C卸货后继续向港口A航行。由于船员的疏忽没有测得CA的距离,如果船上有测角仪我们能否计算出AB的距离? (1)请设计一道三角形度量问题并求解;
(要求:同时用勾股定理和正弦定理解决的实际应用题;体现出两者的相通性。)
(2)给出正弦定理推导过程的教学设计,并说明设计意图。
答:利用测角仪可测得∠A,∠B,∠C的大小。
勾股定理解法:
如图,过A作AD⊥BC交CB于点D,把△ABC分为两个直角三角形。
在Rt△ACD中,sin∠ACB=,∴AD=ACsin∠ACB=600sin∠ACB。
在Rt△ABD中,sin∠ABC=,∴AB==。
正弦定理解法:
在△ABC中,由正弦定理。
(2)首先通过特殊例子,引导学生发现结论。
在△ABC中,∠A,∠B,∠C分别为60°,60°,60°,对应的边长a:b:c为1:1:1,那么对应角的正弦值分别为,引导学生观察的关系的关系。
在△ABC中,∠A,∠B,∠C分别为45°,45°,90°对应的边长a:b:c为1:1:,那么对应角的正弦值分别为,,1,引导学生观察的关系。
在△ABC中,∠A,∠B,∠C分别为30°,60°,90°对应的边长a:b:c为1::2,那么对应角的正弦值分别为,引导学生观察的关系。
[设计意图]通过观察猜想,培养学生从特殊到一般的思想意识,体会到数学的归纳和演绎推理的两个侧面。
验证猜想:在任意的△ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即。
[设计意图]鼓励学生模拟数学家的思维方式和思维过程,大胆拓展,主动投入数学发现过程,发展创造性思维。
三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,那么我们分情况来证明此关系式。
①直角三角形
由正弦函数的定义可直接得到。
②锐角三角形
设BC=a,CA=b,AB=c,
作AD⊥BC,垂足为D,
在Rt△ABD中,
③钝角三角形
设∠ACB为钝角,BC=a,CA=b,AB=c,
作AD⊥BC交BC的延长线于D,
在Rt△ABD中,
答案解析:
涉及考点
《数学学科知识与教学能力》(高级中学)
第四章 教学技能
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