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请以“点到直线的距离”为课题，完成下列教学设计

来源：焚题库 [2020-05-07] 【大中小】

类型：学习教育

题目总量：200万+

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问答题请以“点到直线的距离”为课题，完成下列教学设计。
（1）教学目标；
（2）教学重点、难点；
（3）教学过程（只要求写出新课导入和新知探究、巩固、应用等）及设计意图。

参考答案：（1）教学目标
①知识与技能目标：理解点到直线的距离公式的推导过程；掌握点到直线的距离公式；掌握点到直线的距离公式的应用。
②过程与方法目标：通过类比归纳的思想，由浅入深，自主探究，分析、整理出推导公式的不同算法、思路，体会从特殊到一般，从具体到抽象的数学研究方法。
③情感态度与价值观目标：体验数学活动充满着探索与创造，培养勤于思考、勇于探索的精神；学会用运动联系观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辩证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。
（2）教学重、难点
①教学重点：点到直线的距离公式的推导思路；点到直线的距离公式的应用。
②教学难点：点到直线的距离公式的推导思路和算法分析。
（3）教学过程如下：
一、新课导入
教师活动：通过多媒体展示学生熟知的地质勘探、铁轨宽度、人离高压线的安全距离等生活图片，创设情景，同时要学生说说现实生活中有哪些现象涉及点到直线的距离。
学生活动：直观感受几何要素“点到直线的距离”，有效调动学习兴趣。
那么“应该如何求点到直线的距离呢？”带着这个问题，教学进入下一环节。
二、新知探究
师生共同探讨如何求点到直线的距离。
问题1：你有几种方法求原点O（0，0）到直线x+y-2=0的距离？
学生活动：分析问题，找到解决该问题的方法，归纳起来主要有以下几种方法：
方法①：利用两点之间距离公式。
方法②：利用直角三角形的面积公式。
方法③：利用三角函数。
教师活动：将直线方程变得更一般，提出问题2。
问题2：如何求点O（0，0）到直线3x+4y-12=0的距离？
学生活动：学生在解决该问题的过程中比较几种方法，不难发现用等面积法最简单，优势最明显。
[设计意图]由于点和直线的一般性，所以公式的推导过程含有字母运算，比较抽象。为了引导学生自主探究，体验数学知识的发生发展过程。先补充两个由浅入深的具体问题，为后面推广到一般情况做好铺垫。
教师活动：在解决问题1，2的基础上，将点和直线推广到一般情况，进一步提出问题3。
问题3：如何求点P（x₀，y₀）到直线Ax+By+C=0（A²+B²≠0）的距离？同时提示学生在思考过程中注意迁移刚刚求解问题1，2的方法。
学生活动：发现利用两点之间距离公式法可以直接迁移过来解决此问题。
教师活动：与学生一起探讨用两点之间距离公式法求解的算法思路，同时要学生回答该思路的算法流程。向学生强调利用定义法求解应注意单独讨论A=0或者B=0的情况。
学生活动：探讨用两点间距离公式法求解的算法流程：

[设计意图]巩固练习了两点之间的距离公式的应用，虽然计算量较大，但方法、思路比较直接，学生容易理解。
教师活动：还有没有其他的方法解决此问题呢？利用几何画板与学生共同探讨解决此问题的其他方法直角三角形等面积的方法。
学生活动：在老师的引导下，通过类比联想找到如何构造Rt△来推导公式。
教师活动：找学生回答用直角三角形等面积法推导公式的算法思路，同时要求学生结合课本自己推导公式。
学生活动：分析用直角三角形等面积法推导公式的思路推导得出点到直线的距离公式即点P（x₀，y₀）到直线Ax+By+C=0的距离公式。

其中A，B不同时为0的距离

。
教师活动：在学生通过多种方法推导得出公式后，引导学生根据公式的形式特点，记忆公式。同时强调：当A=0或B=0时，公式仍然适用，也可以结合图像直接求出结论。
[设计意图]让学生参与到公式的形成过程中，加深对点到直线的距离公式的理解，方便记忆与应用。
三、应用提高
在三个例题的教学中，均由学生自主完成，然后教师点评。
例1.求点P₀（-1，2）到下列直线的距离：
（1）2x-y-10=0，
（2）3y=x+7，
（3）y-2=4（x-1）。
例2.已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积。
例3.求平行线2x-7y+8=0到2x-7y-6=0距离。
[设计意图]让学生在求解过程中熟悉公式，在强化训练中掌握公式的应用。
四、巩固小结
教师活动：向学生提出问题，调动学生积极参加梳理知识这一过程。
1.在距离公式的推导过程中体现了哪些算法思路？
2.点到直线的距离公式是什么？
3.点到直线的距离公式的应用应注意些什么？
学生活动：
1.方法①利用两点间的距离公式；方法②利用直角三角形的面积公式；方法③利用三角函数。
2.点到直线的距离公式，点P（x₀，y₀）到直线Ax+By+C=0的距离。其中A，B不同时为0的距离d=