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《全日制普通高级中学教科书（必修）数学》第八章第一节

来源：焚题库 [2020-05-12] 【大中小】

类型：学习教育

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问答题《全日制普通高级中学教科书（必修）数学》第八章第一节“椭圆及其标准方程”是用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质的。在此基础上完成下列问题：
（1）在学习本内容前，学生已具备了哪些相关知识和数学活动经验？
（2）写出本内容的教学重点和教学难点；
（3）设计本内容的教学过程。

参考答案：（1）解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在之前的学习中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。在第八章中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。之前学生已经具备了观察、操作、讨论等教学活动经验；分类活动经验；抽象、归纳的经验。
（2）教学重、难点
重点：椭圆的定义及标准方程，坐标法的基本思想。
难点：椭圆标准方程的推导与化简。
（3）教学过程
（一）创设情境，认识椭圆
材料：对椭圆的感性认识，通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆。
引入课题：椭圆及其标准方程。
（二）动手实验，亲身体会
教师演示，引出研究思路。
思考：在上一章圆的学习中我们知道：平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆。那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？（学生分组试验）
试验一：用事先准备好的绳子，把它的两端都固定在同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？
提问1：在整个过程中什么不变？
提问2：笔尖（动点）满足什么几何条件？
试验二：如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F₁，F₂处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖（M），画出的又是什么图形？（教师巡视指导，展示学生成果）
分析实验，得出规律。
提问1：在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？
提问2：在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
提问3：在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
提问4：改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？
学生总结规律：
|MF₁|+|MF₂|>|F₁F₂|轨迹为椭圆；
|MF₁|+|MF₂|=|F₁F₂|轨迹为线段；
|MF₁|+|MF₂|<|F₁F₂|轨迹不存在。
（三）总结归纳，形成概念
定义：平面内，到两个定点F₁，F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫作椭圆。
提问：椭圆定义还可以用集合语言如何表示？
（边学边用，深化理解定义）
例题：用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆？
（1）到F₁（-2，0）、F₂（2，0）的距离之和为6的点的轨迹。
（2）到F₁（0，-2）、F₂（0，2）的距离之和为4的点的轨迹。
（3）到F₁（-2，0）、F₂（2，0）的距离之和为3的点的轨迹。
1.复习求曲线的方程的基本步骤：
（1）建系；（2）设点；（3）列式；（4）化简。（由学生回答，不正确的教师给予纠正）
2.如何选取坐标系？
教师分析椭圆，学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？
学生讨论，经过比较确定方案：把F₁，F₂建在x轴上，以F₁F₂的中点为原点，或者把F₁，F₂建在y轴上，以F₁F₂的中点为原点。
3推导标准方程
选取建系方法，让学生动手，尝试推导。
（请两位同学上台同时演示两种建系方法并推导方程）
例如：以过F₁，F₂的直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。设|F₁F₂|=2c（c>0），点M（x，y）为椭圆上任意一点，则P={M‖MF₁|+|MF₂|=2a}（称此式为几何条件），得v（x=c）+y2+V（x+c）+y2=2a（实现集合条件代数化）。
（想一想：下面怎样化简？）
（1）教师为突破难点，进行引导设问：
我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好，还是整理后再平方好呢？
化简，得（a²-c²）x²+a²y²=a²（a²-c²）
（2）b的引入。
由椭圆的定义可知，2a>2c，：a²-c²>0。
让点M运动到y轴正半轴上（如图），由学生观察图形直观获得a，c的几何意义，进而自然引进b，此时设b²=a²-c²，于是得b²x²+a²y²=a²b²，两边同时除以a²b²，得到方程是：

（称为椭圆的标准方程）。
同理，建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程。

4.相互比较，深化理解两种标准方程。
学生讨论：如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？

得出结论：椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定（焦点在分母大的坐标轴上）。
5.归纳概括，掌握特征。
（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1。
（2）椭圆标准方程中三个参数a，b，c的关系：b²=a²-c²（a>b>0）。
（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定。
（四）尝试应用，范例教学
例1.下列哪些是椭圆的方程，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并指明a，b，写出焦点坐标。

例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点到两焦点距离的和等于10。
变式一：将上题焦点改为（0，-4）、（0，4），结果如何？
变式二：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？
例3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且经过点