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设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内存在二阶导数

来源：焚题库 [2020-04-30] 【大中小】

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问答题设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且

。
（1）证明存在η∈（0，2），使f（η）=f（0）；
（2）证明存在ξ∈（0，3），使f"（ξ）=0。

参考答案：（1）因为

，又因为f（x）在[0，2]上连续，所以由积分中值定理得，至少有一点η∈（0，2），使得

即2f（0）=2f（η），所以存在η∈（0，2），使得f（η）=f（0）。
（2）因为f（2）+f（3）=2f（0），即

，又因为f（x）在[2，3]上连续，由介值定理知，至少存在一点η₁∈（2，3）使得f（η₁）=f（0）。
因为f（x）在[0，2]上连续，在[0，2]上可导，且f（0）=f（2），所以由罗尔中值定理知，存在ξ₁∈（0，2），使f（ξ₁）=0。
又因为f（x）在[2，η₁]上连续，在（2，η₁）内可导，且f（2）=f（0）=f（η₁），所以由罗尔中值定理知，存在ξ₂∈（2，η₁），使f’（ξ₂）=0。
又因为f（x）在[ξ₁，ξ₂]上二阶可导，且f’（ξ₁）=f’（ξ₂）=0，所以由罗尔中值定理，至少有一点ξ∈（ξ₁，ξ₂）