题型一 利用椭圆的几何性质解题
例1 如图，焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值.
破题切入点 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题的关键是表示出·，根据椭圆的性质确定变量的取值范围.
解 设P点坐标为(x0，y0).由题意知a=2，
∵e==，∴c=1，∴b2=a2-c2=3.
所求椭圆方程为+=1.
∴-2≤x0≤2，-≤y0≤.
又F(-1,0)，A(2,0)，=(-1-x0，-y0)，
=(2-x0，-y0)，
∴·=x-x0-2+y
=x-x0+1=(x0-2)2.
当x0=2时，·取得最小值0，
当x0=-2时，·取得最大值4.
题型二 直线与椭圆相交问题
例2 已知直线l过椭圆8x2+9y2=72的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，求弦|MN|的长.
破题切入点 根据条件写出直线l的方程与椭圆方程联立，用弦长公式求出.
解 由得11x2-18x-9=0.
由根与系数的关系，得xM+xN=，
xM·xN=-.
由弦长公式|MN|=|xM-xN|=·==.
题型三 点差法解题，设而不求思想
例3 已知椭圆+y2=1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.
破题切入点 设出弦的两端点，利用点差法求解.
解 设弦的两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
MN的中点为R(x，y)，
则x+2y=2，x+2y=2，
两式相减并整理可得，
=-=-，①
将=2代入式①，
得所求的轨迹方程为x+4y=0(-MN，
由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.
3.已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆方程为________.
答案 +=1
解析 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由点(2，)在椭圆上知+=1.
又PF1，F1F2，PF2成等差数列，
则PF1+PF2=2F1F2，
即2a=2·2c，=.
又c2=a2-b2，联立得a2=8，b2=6.
4.(2014·大纲全国改编)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为________.
答案 +=1
解析 由e=，得=.①
又△AF1B的周长为4，
由椭圆定义，得4a=4，得a=，
代入①得c=1，所以b2=a2-c2=2，
故C的方程为+=1.
5.(2014·福建改编)设P，Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________.
答案 6
解析 如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2+(y-6)2=r2(r>0)，与椭圆方程+y2=1联立得方程组，消掉x2得9y2+12y+r2-46=0.
令Δ=122-4×9(r2-46)=0，
解得r2=50，
即r=5.
由题意易知P，Q两点间的最大距离为r+=6.
6.如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________.
答案
解析 设AF1=m，AF2=n，
则有m+n=4，m2+n2=12，
因此12+2mn=16，所以mn=2，
而(m-n)2=(2a)2=(m+n)2-4mn=16-8=8，
因此双曲线的a=，c=，则有e==.
7.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为________.
答案
解析 由椭圆的性质可知：AF1=a-c，F1F2=2c，F1B=a+c，
又AF1，F1F2，F1B成等比数列，
故(a-c)(a+c)=(2c)2，
可得=.
8.(2014·辽宁)已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则AN+BN=________.
答案 12
解析 椭圆+=1中，a=3.
如图，设MN的中点为D，
则DF1+DF2=2a=6.
∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，
∴BN=2DF2，
AN=2DF1，
∴AN+BN=2(DF1+DF2)=12.
