题型一 三角函数的图象
例1 (2013·四川改编)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，-<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________.
破题切入点 考查“五点作图法”的逆用，由图象求解析式，先看周期，再看什么时候取得最值以及函数零点等.
答案 2，-
解析 T=-，T=π，∴ω=2，
∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，
∴φ=2kπ-，k∈Z.
又φ∈，∴φ=-.
题型二 三角函数的简单性质
例2 (2013·山东)设函数f(x)=-sin2ωx-sin ωx·cos ωx(ω>0)，且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
破题切入点 (1)先根据倍角公式以及两角和与差的三角函数公式将f(x)的解析式化简为“一角一函数名”的形式，然后根据“y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为”确定该函数的周期，代入周期公式即可求出ω的值;
(2)先根据(1)确定函数解析式，然后利用给定区间确定f(x)的区间，根据该函数在区间上的图象即可确定所求函数的最值.
解 (1)f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx
=-×-sin 2ωx
=cos 2ωx-sin 2ωx
=-sin.
依题意知=4×，ω>0，所以ω=1.
(2)由(1)知f(x)=-sin.
当π≤x≤时，≤2x-≤.
所以-≤sin≤1.
所以-1≤f(x)≤.
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，-1.
题型三 三角函数图象的变换
例3 已知函数f(x)=sin(ωx+)，其中ω>0，且函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.若函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数m=________.
破题切入点 由相邻两对称轴间距离得出周期进而求出ω，再由平移后为偶函数得出m的最小值.
答案
解析 依题意，可得=，
又T=，故ω=3，
所以f(x)=sin(3x+).
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为
g(x)=sin[3(x+m)+].
g(x)是偶函数当且仅当3m+=kπ+(k∈Z)，
即m=+(k∈Z)，
从而最小正实数m=.
总结提高 (1)利用三角函数图象确定解析式的基本步骤：①最值定A：即根据给定函数图象确定函数的最值即可确定A的值.②周期定ω：即根据给定函数图象的特征确定函数的周期，利用周期计算公式T=求解ω.③最值点定φ：即根据函数图象上的最高点或最低点的坐标，代入函数解析式求解φ的取值，注意利用中心点求解φ时，要验证该点所在的单调区间以确定φ，否则会产生增解.
(2)三角函数的简单性质主要包括：定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性和单调性，对称性注意各三角函数的对称中心和对称轴，求解奇偶性时首先应利用诱导公式将函数化成最简再去研究，周期性的求解注意公式中应为|ω|而不是ω，单调性要将x的系数化成正的.本部分题目注意要将ωx+φ当作一个整体.
(3)对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自变量x，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx+φ写成ω(x+)最后确定平移的单位和方向.伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向，要加以区分.
1.已知函数y=Asin(ωx+φ)+k(0<φ<)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x=是其图象的一条对称轴，则函数解析式为________.
答案 y=2sin(4x+)+2
解析 由题意得解得
又函数y=Asin(ωx+φ)+k的最小正周期为，
所以ω==4，所以y=2sin(4x+φ)+2.
又直线x=是函数图象的一条对称轴，
所以4 ×+φ=kπ+(k∈Z)，
所以φ=kπ-(k∈Z)，
又∵0<φ<，故φ=.
故得y=2sin(4x+)+2.
2.已知函数f(x)=sin2ωx+sin ωx·cos ωx，x∈R，又f(α)=-，f(β)=，若|α-β|的最小值为，则正数ω的值为________.
答案
解析 f(x)=+sin 2ωx
=sin 2ωx-cos 2ωx+
=sin(2ωx-)+，
又由f(α)=-，f(β)=，
且|α-β|的最小值为可知T=3π，于是ω=.
3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)=sin 3x的图象，则只要将f(x)的图象向________平移________个单位长度.(答案不唯一)
答案 右
解析 由题意，得函数f(x)的周期T=4=，ω=3，所以sin=-1，又|φ|<，所以φ=，所以f(x)=sin=sin，所以将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数g(x)=sin 3x的图象.
4.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0，|φ|<)，y=f(x)的部分图象如图所示，则f()=________.
答案
解析 由图象知，T==2(-)=，ω=2.
由2×+φ=kπ，k∈Z，得φ=kπ-，k∈Z.
又∵|φ|<，∴φ=.由Atan(2×0+)=1，
知A=1，∴f(x)=tan(2x+)，
∴f()=tan(2×+)=tan=.
5.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω=________.
答案
解析 由题意知f(x)的一条对称轴为直线x=，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T=，从而ω=.
6.将函数f(x)=-4sin的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线x=对称，则φ的最小正值为________.
答案 π
解析 依题意可得y=f(x)
y=-4sin[2(x-φ)+]=-4sin[2x-(2φ-)]
y=g(x)=-4sin[4x-(2φ-)]，
因为所得图象关于直线x=对称，
所以g=±4，
得φ=π+π(k∈Z).
故φ的最小正值为.
7.已知函数f(x)=3sin(ωx-)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同.若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________.
答案 [-，3]
解析 ∵f(x)和g(x)的对称轴完全相同，
∴二者的周期相同，即ω=2，
f(x)=3sin(2x-).
∵x∈[0，]，∴2x-∈[-，]，
sin(2x-)∈[-，1]，
∴f(x)∈[-，3].
8.(2014·北京)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f(x)在区间上具有单调性，且f=f=-f，则f(x)的最小正周期为________.
答案 π
解析 ∵f(x)在上具有单调性，
∴≥-，
∴T≥.
∵f=f，
∴f(x)的一条对称轴为x==.
又∵f=-f，
∴f(x)的一个对称中心的横坐标为=.
∴T=-=，∴T=π.
9.函数f(x)=sin(x∈R)的图象为C，以下结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x=对称;
②图象C关于点对称;
③函数f(x)在区间内是增函数;
④由y=sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
答案 ①②③
解析 当x=时，f=sin=sin=sin =-1，为最小值，所以图象C关于直线x=对称，所以①正确;当x=时，f=sin=sin π=0，图象C关于点对称，所以②正确;当-≤x≤时，-≤2x-≤，此时函数单调递增，所以③正确;y=sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y=sin 2=sin，所以④错误，所以正确的是①②③.
10.已知函数f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx-(ω>0)，直线x=x1，x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为.
(1)求f(x)的表达式;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，若关于x的方程g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围.
解 (1)f(x)=sin 2ωx+-
=sin 2ωx+cos 2ωx=sin，
由题意知，最小正周期T=2×=，
T===，所以ω=2，所以f(x)=sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y=sin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin的图象.
所以g(x)=sin.
令2x-=t，∵0≤x≤，∴-≤t≤.
g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解，即函数g(x)=sin t与y=-k在区间上有且只有一个交点.如图，
由正弦函数的图象可知-≤-k<或-k=1.
所以-0，ω>0)，g(x)=tan x，它们的最小正周期之积为2π2，f(x)的最大值为2g().
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)设h(x)=f2(x)+2cos2x.当x∈[a，)时，h(x)有最小值为3，求a的值.
解 (1)由题意，得·π=2π2，
所以ω=1.
又A=2g()=2tan π=2tan =2，
所以f(x)=2sin(x+).
令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z)，
得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).
故f(x)的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+](k∈Z).
(2)因为h(x)=f2(x)+2cos2x
=×4×sin2(x+)+2cos2x
=3(sin x+cos x)2+2cos2x
=3+3sin 2x+(cos 2x+1)
=3++2sin(2x+)，
又h(x)有最小值为3，
所以有3++2sin(2x+)=3，
即sin(2x+)=-.
因为x∈[a，)，所以2x+∈[2a+，)，
所以2a+=-，即a=-.
