题型一 直接求切线或切线斜率问题
例1 已知f(x)=x3+f′()x2-x，则f(x)的图象在点(，f())处的切线斜率是________.
破题切入点 先对函数求导，将x=代入求得f′()的值即是.
答案 -1
解析 f′(x)=3x2+2f′()x-1，令x=，
可得f′()=3×()2+2f′()×-1，
解得f′()=-1，
所以f(x)的图象在点(，f())处的切线斜率是-1.
题型二 转化为切线问题
例2 设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则PQ的最小值为________.
破题切入点 结合图形，将求PQ的最小值转化为函数切线问题.
答案 (1-ln 2)
解析 由题意知函数y=ex与y=ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y=x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y=x与y=ex上点的最小距离的2倍.设y=ex上点(x0，y0)处的切线与直线y=x平行.则ex0=1，∴x0=ln 2，y0=1，
∴点(x0，y0)到y=x的距离为=(1-ln 2)，
则PQ的最小值为(1-ln 2)×2=(1-ln 2).
题型三 综合性问题
例3 (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a，b的值;
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.
破题切入点 先利用导数的几何意义和已知的切线方程列出关于a，b的方程组，求出a，b的值;然后确定函数f(x)的解析式，求出其导函数，利用导函数的符号判断函数f(x)的单调性，进而确定极值.
解 (1)f′(x)=ex(ax+b)+aex-2x-4
=ex(ax+a+b)-2x-4，
∵y=f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y=4x+4，
∴f′(0)=a+b-4=4，f(0)=b=4，
∴a=4，b=4.
(2)由(1)知f′(x)=4ex(x+2)-2(x+2)
=2(x+2)(2ex-1)，
令f′(x)=0得x1=-2，x2=ln ，
列表：
x (-∞，-2) -2 ln f′(x) + 0 - 0 + f(x) ( 极大值 ( 极小值 ( ∴y=f(x)的单调增区间为(-∞，-2)，;
单调减区间为.
f(x)极大值=f(-2)=4-4e-2.
总结提高 (1)熟练掌握导数的几何意义，审准题目，求出导数，有时需要设切点，然后根据直线的点斜式形式写出切线方程.
(2)一般两曲线上点的距离的最小值或一曲线上点到一直线上点的距离的最小值的求法都是转化为求曲线的切线，找出平行线然后求出最小值.
(3)已知切线方程求参数的值或范围时要验证.
1.设f(x)=xln x，若f′(x0)=2，则x0的值为________.
答案 e
解析 由f(x)=xln x得f′(x)=ln x+1.
根据题意知ln x0+1=2，所以ln x0=1，因此x0=e.
2.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为________.
答案 4x-y-3=0
解析 切线l的斜率k=4，设y=x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k=4x=4，∴x0=1，∴切点为(1,1)，
即y-1=4(x-1)，整理得l的方程为4x-y-3=0.
3.曲线y=在点(-1，-1)处的切线方程为________.
答案 2x-y+1=0
解析 易知点(-1，-1)在曲线上，且y′==，
所以切线斜率k=y′|x=-1==2.
由点斜式得切线方程为y+1=2(x+1)，即2x-y+1=0.
4.曲线y=xln x在点(e，e)处的切线与直线x+ay=1垂直，则实数a的值为________.
答案 2
解析 依题意得y′=1+ln x，y′|x=e=1+ln e=2，
所以-×2=-1，a=2.
5.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2，则f′(-1)=________.
答案 -2
解析 f′(x)=4ax3+2bx，
∵f′(x)为奇函数且f′(1)=2，∴f′(-1)=-2.
6.已知函数f(x)=x3-3x，若过点A(0，16)且与曲线y=f(x)相切的切线方程为y=ax+16，则实数a的值是________.
答案 9
解析 先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线y0=x-3x0上，①
求导数得到切线的斜率k=f′(x0)=3x-3，
又切线过A、M两点，所以k=，
则3x-3=.②
联立①②可解得x0=-2，y0=-2，
从而实数a的值为a=k==9.
7.(2013·广东)若曲线y=ax2-ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a=________.
答案
解析 y′=2ax-，所以y′|x=1=2a-1=0，所以a=.
8.(2013·江西)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α=________.
答案 2
解析 y′=αxα-1，∴y′|x=1=α.
曲线在点(1,2)处的切线方程为y-2=α(x-1)，将点(0,0)代入得α=2.
9.(2014·江西)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是________.
答案 (-ln 2,2)
解析 设P(x0，y0)，∵y=e-x，∴y′=-e-x，
∴点P处的切线斜率为k=-e-x0=-2，
∴-x0=ln 2，∴x0=-ln 2，
∴y0=eln 2=2，∴点P的坐标为(-ln 2,2).
10.设函数f(x)=ax-，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
(1)解 方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.
当x=2时，y=.
又f′(x)=a+，于是
解得故f(x)=x-.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′=1+知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y-y0=(x-x0)，
即y-(x0-)=(1+)(x-x0).
令x=0得y=-，
从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0，-).
令y=x得y=x=2x0，
从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
11.(2014·北京)已知函数f(x)=2x3-3x.
(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值;
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t的取值范围;
(3)问过点A(-1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)
解 (1)由f(x)=2x3-3x得f′(x)=6x2-3.
令f′(x)=0，得x=-或x=.
因为f(-2)=-10，f=，f=-，f(1)=-1，
所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f=.
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0，y0)，
则y0=2x-3x0，且切线斜率为k=6x-3，
所以切线方程为y-y0=(6x-3)(x-x0)，
因此t-y0=(6x-3)(1-x0)，
整理得4x-6x+t+3=0.
设g(x)=4x3-6x2+t+3，
则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同的零点”.
g′(x)=12x2-12x=12x(x-1).
当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：
x (-∞，0) 0 (0,1) 1 (1，+∞) g′(x) + 0 - 0 + g(x) ( t+3 ( t+1 ( 所以，g(0)=t+3是g(x)的极大值，
g(1)=t+1是g(x)的极小值.
当g(0)=t+3≤0，即t≤-3时，
g(x)在区间(-∞，1]和(1，+∞)上分别至多有1个零点，
所以g(x)至多有2个零点.
当g(1)=t+1≥0，即t≥-1时，
g(x)在区间(-∞，0)和[0，+∞)上分别至多有1个零点，
所以g(x)至多有2个零点.
当g(0)>0且g(1)<0，即-30，
所以g(x)分别在区间[-1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点.
由于g(x)在区间(-∞，0)和(1，+∞)上单调，
所以g(x)分别在区间(-∞，0)和[1，+∞)上恰有1个零点.
综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时，t的取值范围是(-3，-1).
(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;
过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;
过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.
12.设函数f(x)=aln x+x2-bx(a≠1)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b;
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围.
解 (1)f′(x)=+(1-a)x-b.
由题设知f′(1)=0，解得b=1.
(2)f(x)的定义域为(0，+∞)，
由(1)知，f(x)=aln x+x2-x，
f′(x)=+(1-a)x-1=(x-)(x-1).
①若a≤，则≤1，
故当x∈(1，+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，+∞)单调递增.
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为
f(1)<，
即-1<，
解得--11，
故当x∈(1，)时，f′(x)<0，
当x∈(，+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，)单调递减，在(，+∞)单调递增.
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f()<.
而f()=aln ++>，
所以不合题意.
③若a>1，则f(1)=-1=<.
综上，a的取值范围是(--1，-1)∪(1，+∞).
