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2015届四川高考数学必会题型5

中华考试网  2015-04-23  【

  题型一 利用基本不等式求解最大值、最小值问题

  例1 (1)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最小值时,x+2y-z的最大值为________.

  (2)函数y=的最大值为________.

  破题切入点 (1)利用基本不等式确定取得最小值时x,y,z之间的关系,进而可求得x+2y-z的最大值.

  (2)可采用换元法,将函数解析式进行变形,利用基本不等式求解最值.

  答案 (1)2 (2)

  解析 (1)==+-3≥2-3=1,

  当且仅当x=2y时等号成立,

  因此z=4y2-6y2+4y2=2y2,

  所以x+2y-z=4y-2y2=-2(y-1)2+2≤2.

  (2)令t= ≥0,则x=t2+1,

  所以y==.

  当t=0,即x=1时,y=0;

  当t>0,即x>1时,y=,

  因为t+≥2=4(当且仅当t=2时取等号),

  所以y=≤,

  即y的最大值为(当t=2,即x=5时y取得最大值).

  题型二 利用基本不等式求最值的综合性问题

  例2 如图所示,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB的中点Q(m,n)在直线OM上.

  (1)求曲线C的方程及t的值;

  (2)记d=,求d的最大值.

  破题切入点 (1)依条件,构建关于p,t的方程;

  (2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系,并表示弦AB的长度,运用函数的性质或基本不等式求d的最大值.

  解 (1)y2=2px(p>0)的准线x=-,

  ∴1-(-)=,p=,

  ∴抛物线C的方程为y2=x.

  又点M(t,1)在曲线C上,∴t=1.

  (2)由(1)知,点M(1,1),从而n=m,即点Q(m,m),

  依题意,直线AB的斜率存在,且不为0,

  设直线AB的斜率为k(k≠0).

  且A(x1,y1),B(x2.y2),

  由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,

  故k·2m=1,

  所以直线AB的方程为y-m=(x-m),

  即x-2my+2m2-m=0.

  由消去x,

  整理得y2-2my+2m2-m=0,

  所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.

  从而|AB|= ·|y1-y2|

  =·

  =2

  ∴d==2≤m+(1-m)=1,

  当且仅当m=1-m,即m=时,上式等号成立.

  又m=满足Δ=4m-4m2>0,∴d的最大值为1.

  总结提高 (1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时,注意观察其是否具有“和为定值”或“积为定值”的结构特点.在具体题目中,一般很少直接考查基本不等式的应用,而是需要将式子进行变形,寻求其中的内在关系,然后利用基本不等式求出最值.

  (2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”,所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.若连续使用基本不等式求最值,必须保证两次等号成立的条件一致,否则最值就取不到.

  1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a=0,∴v>a.

  2.若函数f(x)=x+ (x>2)在x=a处取最小值,则a=________.

  答案 3

  解析 ∵x>2,∴f(x)=x+=x-2++2

  ≥2+2=4,

  当且仅当x-2=,即x=3时等号成立,即a=3,f(x)min=4.

  3.(2014·南通模拟)设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为________.

  答案 4

  解析 因为3a·3b=3,所以a+b=1.

  +=(a+b)=2++

  ≥2+2 =4,当且仅当=,

  即a=b=时等号成立.

  4.已知m=a+(a>2),n=x-2(x≥),则m与n之间的大小关系为________.

  答案 m≥n

  解析 m=a+=(a-2)++2≥4(a>2),

  当且仅当a=3时,等号成立.由x≥得x2≥,

  ∴n=x-2=≤4即n∈(0,4],∴m≥n.

  5.已知正数x,y满足x+2≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为________.

  答案 2

  解析 ∵x>0,y>0,

  ∴x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号).

  又由x+2≤λ(x+y)可得λ≥,

  而≤=2,

  ∴当且仅当x=2y时,max=2.

  ∴λ的最小值为2.

  6.已知a>0,b>0,若不等式--≤0恒成立,则m的最大值为________.

  答案 16

  解析 因为a>0,b>0,所以由--≤0恒成立得m≤(+)(3a+b)=10++恒成立.

  因为+≥2 =6,

  当且仅当a=b时等号成立,所以10++≥16,

  所以m≤16,即m的最大值为16.

  7.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________.

  答案 18

  解析 ∵x>0,y>0,2x+y+6=xy,

  ∴2+6≤xy,即xy-2-6≥0,

  解得xy≥18.

  ∴xy的最小值是18.

  8.已知a>0,b>0,函数f(x)=x2+(ab-a-4b)x+ab是偶函数,则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________.

  答案 16

  解析 根据函数f(x)是偶函数可得ab-a-4b=0,函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为ab.由ab-a-4b=0,得ab=a+4b≥4,解得ab≥16(当且仅当a=8,b=2时等号成立),即f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16.

  9.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.

  答案

  解析 ∵a≥=对任意x>0恒成立,设u=x++3,∴只需a≥恒成立即可.

  ∵x>0,∴u≥5(当且仅当x=1时取等号).

  由u≥5知0<≤,∴a≥.

  10.(1)已知0-1)的最小值.

  解 (1)y=2x-5x2=x(2-5x)=·5x·(2-5x).

  ∵00,

  ∴5x(2-5x)≤()2=1,

  ∴y≤,当且仅当5x=2-5x,即x=时,ymax=.

  (2)设x+1=t,则x=t-1(t>0),

  ∴y=

  =t++5≥2 +5=9.

  当且仅当t=,即t=2,且此时x=1时,取等号,

  ∴ymin=9.

  11.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2 (k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

  (1)求炮的最大射程;

  (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

  解 (1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,

  由实际意义和题设条件知x>0,又k>0,

  故x==≤=10,

  当且仅当k=1时取等号.

  所以炮的最大射程为10千米.

  (2)因为a>0,所以炮弹可击中目标存在k>0,

  使3.2=ka-(1+k2)a2成立

  关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根

  判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥00

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