一、选择题
1.过点M(-,),N(-,)的直线的倾斜角是( )
(A)π (B)2/π (C)4/π (D)2π
2.(2013·渭南模拟)已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为
( )
(A) 1(B)-1 (C)3 (D)-3
3.(2013·铜川模拟)过点(5，2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )
(A)2x+y-12=0
(B)2x+y-12=0或2x-5y=0
(C)x-2y-1=0
(D)x-2y-1=0或2x-5y=0
4.若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限,则有( )
(A)ab>0,bc>0 (B)ab>0,bc<0
(C)ab<0,bc>0 (D)ab<0,bc<0
5.已知△ABC三顶点坐标A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB中点,N为AC中点,则直线MN的方程为( )
(A)2x+y-8=0 (B)2x-y+8=0
(C)2x+y-12=0 (D)2x-y-12=0
6.(2013·安康模拟)已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是( )
(A)k≥ (B)k≤-2
(C)k≥或k≤-2 (D)-2≤k≤
7.(2013·西安模拟)已知直线l1, l2的方程分别为x+ay+b=0,x+cy+d=0,其图像如图所示,则有( )
(A)ac<0
(B)ad
8.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),当x<0时,f(x)>1,方程y=ax+表示的直线是
( )
9.(2013·六安模拟)已知直线l过点(m,1),(m+1,tanα+1),则( )
(A)α一定是直线l的倾斜角
(B)α一定不是直线l的倾斜角
(C)α不一定是直线l的倾斜角
(D)180°-α一定是直线l的倾斜角
10.(能力挑战题)已知函数f(x)=asinx-bcosx(ab≠0)满足f(-x)=f(+x),则直线ax+by+c=0的斜率为( )
(A)1 (B) (C)- (D)-1
二、填空题
11.(2013·汉中模拟)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为 .
12.若经过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为锐角,则实数a的取值范围是 .
13.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 .
14.(2013·上饶模拟)点A在曲线y=x3-x+上移动,设点A处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是 .
三、解答题
15.(能力挑战题)如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
答案解析
1.【解析】选B.由斜率公式得k==1.
又倾斜角范围为[0,π),∴倾斜角为.
2.【解析】选B.由于点(1,-1)在直线上,所以a-3m+2a=0,
∴m=a,∴直线斜率为-.
3.【解析】选B.当直线l过原点时，由直线过点(5，2)，可得直线的斜率为，
故直线方程为y=x，即2x-5y=0;
当直线l不过原点时，设直线在x轴上的截距为k，则在y轴上的截距为2k，直线方程为+=1，
把点(5，2)代入可得+=1，解之得k=6，
故直线方程为+=1，即2x+y-12=0.
4.【解析】选D.易知直线的斜率存在,将直线ax+by+c=0变形为y=-x-,如图所示.数形结合可知
即ab<0,bc<0.
5.【解析】选A.由中点坐标公式可得M(2,4),N(3,2),再由两点式可得直线MN的方程为=,即2x+y-8=0.
6.【解析】选D.(数形结合法)由已知直线l恒过定点P(2,1),如图.
若l与线段AB相交,
则kPA≤k≤kPB.∵kPA=-2,kPB=,∴-2≤k≤.
7.【解析】选C.由题图可知,a,c均不为零.直线l1的斜率、在y轴上的截距分别为:-,-;直线l2的斜率、在y轴上的截距分别为:-,-,由题图可知-<0,->0,-<0,-<0,->-,于是得a>0,b<0,c>0,d>0,a>c,所以只有bd<0正确.
8.【解析】选C.∵f(x)=ax,且x<0时,f(x)>1,
∴01.
又∵y=ax+在x轴、y轴上的截距分别为-和,
且|-|>,故C项图符合要求.
9.【解析】选C.设θ为直线l的倾斜角,
则tanθ==tanα,
∴α=kπ+θ,k∈Z,当k≠0时,θ≠α,故选C.
【变式备选】直线xcos 140°+ysin 140°=0的倾斜角是( )
(A)40° (B)50° (C)130° (D)140°
【解析】选B.∵直线xcos 140°+ysin 140°=0的斜率k=-=-=-===tan 50°,
∴直线xcos 140°+ysin 140°=0的倾斜角为50°.
10.【解析】选A.由f(-x)=f(+x).
令x=,可得f(0)=f(),
于是-b=a,得直线ax+by+c=0的斜率k=-=1.
11.【解析】设所求直线l的方程为+=1,
由已知可得
解得或
∴2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求.
答案:2x+y+2=0或x+2y-2=0
【误区警示】解答本题时易误以为直线在两坐标轴上的截距均为正而致误,根本原因是误将截距当成距离而造成的.
12.【解析】由已知kPQ==.
又直线PQ的倾斜角为锐角,∴>0,
即(a-1)(a+2)>0,解得a<-2或a>1.
答案:(-∞,-2)∪(1,+∞)
13.【解析】根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为+=1.
又C(-2,-2)在该直线上,故+=1,
所以-2(a+b)=ab.
又ab>0,故a<0,b<0,根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4.
又ab>0,得≥4,
故ab≥16,即ab的最小值为16.
答案:16
【方法技巧】求解三点共线的常用方法
方法一:建立过其中两点的直线方程,再使第三点满足该方程.
方法二:过其中一点与另外两点连线的斜率相等.
方法三:以其中一点为公共点,与另外两点连成的有向线段所表示的向量共线.
14.【解析】因为y′=3x2-1,∴y′∈[-1,+∞),
因此点A处切线的斜率k=tanα∈[-1,+∞),
又α∈[0,π),∴α∈[0,)∪[π,π).
答案:[0,)∪[π,π)
15.【思路点拨】根据射线与x轴正半轴的夹角求出直线方程，再设出A，B的坐标，求得中点C的坐标，由三点A，P，B共线及点C在直线y=x上，即可求得AB方程.
【解析】由题意可得kOA=tan 45°=1,kOB=tan(180°-30°)=-,
所以直线lOA:y=x, lOB:y=-x.
设A(m,m),B(-n,n),
所以AB的中点C(,).
由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得
解得m=,
所以A(,).
又P(1,0),所以kAB=kAP==,
所以lAB:y=(x-1),
即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.
