[A级 基础达标练]
一、填空题
1.(2013·课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=________.
[解析] 如图,以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2),
∴=(1,2),=(-2,2),
·=1×(-2)+2×2=2.
[答案] 2
2.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(m,m+1),若,则实数m的值为________.
[解析] 依题意得,=(3,1),
由,
得3(m+1)-m=0,m=-.
[答案] -
3.(2014·徐州调研)已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则a·b=________.
[解析] a=(1,2),2a-b=(3,1),
b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).
a·b=(1,2)·(-1,3)=-1+2×3=5.
[答案] 5
4.(2013·常州市高三教学期末调研测试)在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴正半轴于M,N两点,点P为圆C上任意一点,则·的最大值为________.
[解析] 根据题意得:M(2,0),N(0,2).设P(2cos θ,2sin θ),
则=(2-2cos θ,-2sin θ),=(-2cos θ,2-2sin θ),
所以·=-4cos θ+4cos2θ-4sin θ+4sin2θ
=4-4(sin θ+cos θ)=4-4sin,
因为-1≤sin≤1,所以4-4≤·≤4+4,
所以·的最大值为4+4.
[答案] 4+4
5.(2014·宿迁调研)已知点A(-2,0),B(0,0),动点P(x,y)满足·=x2,则点P的轨迹方程是________.
[解析] =(-2-x,-y),=(-x,-y),则
·=(-2-x)(-x)+(-y)2=x2,
y2=-2x.
[答案] y2=-2x
6.(2014·常州质检)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|+|=|-|,其中O为原点,则正实数a的值为________.
[解析] 由|+|=|-|,知,
|AB|=2,则得点O到AB的距离d=,
=,
解得a=2(a>0).
[答案] 2
7.(2014·南京、盐城二模)已知||=1,||=2,AOB=,=+,则与的夹角大小为________.
[解析] 令=,=,因为||=1,||=2,所以||=||,由=+=+,得四边形OA1CB1为菱形.因为菱形对角线平分所对角,因此AOC=60°.
[答案] 60°
8.如图443,在ABC中,AB=AC,BC=2,=,=.若·=-,则·=________.
图443
[解析] 建立如图所示的直角坐标系,则·=·(1,-a)=-=-,解得a=2,所以=,=(-1,-2),所以·=-.
[答案] -
二、解答题
9.(2014·苏北四市质检)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1).
(1)若a⊥b,求的值;
(2)若|a-b|=2,θ,求sin的值.
[解] (1)由a⊥b可知,a·b=2cos θ-sin θ=0,所以sin θ=2cos θ,
所以==.
(2)由a-b=(cos θ-2,sin θ+1),可得|a-b|===2,
即1-2cos θ+sin θ=0,
又cos2θ+sin2θ=1,且θ,
由可解得
所以sin=(sin θ+cos θ)
==.
10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(sin 2x,1-cos 2x),c=(0,1),x(0,π).
(1)向量a,b是否共线?并说明理由;
(2)求函数f(x)=|b|-(a+b)·c的最大值.
[解] (1)b=(sin 2x,1-cos 2x)=(2sin xcos x,2sin2 x)
=2sin x(cos x,sin x)=2sin x·a,且|a|=1,即a≠0.
a与b共线.
(2)f(x)=|b|-(a+b)·c
=2sin x-(cos x+sin 2x,1-cos 2x+sin x)·(0,1)
=2sin x-1+cos 2x-sin x=sin x-1+1-2sin2x
=-2sin2x+sin x=-22+.
当sin x=时,f(x)有最大值.
[B级 能力提升练]
一、填空题
1.(2014·南京、盐城二模)在ABC中,点D在边BC上,且DC=2BD,ABAD∶AC=3k∶1,则实数k的取值范围为________.
[解析] 因为DC=2BD,所以=+.平方得:2=2+2+||·||cos θ,θ(0,π),即k2=×32+×12+×3×1×cos θ=+cos θ,因为k>0,所以k.
[答案]
2.设O是ABC外接圆的圆心,=x+y,且||=6,||=8,4x+y=2,则·=________.
[解析] 依题意=x+y=2x·+·(2),设=,=2,则E是AB中点,C是AF中点,=2x·+·.又因为4x+y=2,所以2x+=1,由三点共线的充要条件知E、O、F三点共线.由题意不难发现OEAB,即EFAB,那么在RtAEF中cosBAC==,·=6×8×cosBAC=9.
[答案] 9
二、解答题
3.(2014·南京质检)设a=(cos α,(λ-1)sin α),b=(cos β,sin β),是平面上的两个向量,若向量a+b与a-b互相垂直.
(1)求实数λ的值;
(2)若a·b=,且tan β=,求tan α的值.
[解] (1)由(a+b)·(a-b)=0,得|a|2-|b|2=0,
cos2α+(λ-1)2sin2α-cos2β-sin2β=0.
(λ-1)2sin2α-sin2α=0,
0<α<,sin α≠0,λ2-2λ=0,λ=2(λ>0).
(2)由(1)知,a·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=,
0<α<β<,-<α-β<0,
sin(α-β)=-,tan(α-β)=-.
tan α=tan[(α-β)+β]
=
==.