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江苏高考专题练习(理科):平面向量应用举例

中华考试网  2015-09-21  【

  [A级 基础达标练]

  一、填空题

  1.(2013·课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=________.

  [解析] 如图,以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2),

  ∴=(1,2),=(-2,2),

  ·=1×(-2)+2×2=2.

  [答案] 2

  2.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(m,m+1),若,则实数m的值为________.

  [解析] 依题意得,=(3,1),

  由,

  得3(m+1)-m=0,m=-.

  [答案] -

  3.(2014·徐州调研)已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则a·b=________.

  [解析] a=(1,2),2a-b=(3,1),

  b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).

  a·b=(1,2)·(-1,3)=-1+2×3=5.

  [答案] 5

  4.(2013·常州市高三教学期末调研测试)在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴正半轴于M,N两点,点P为圆C上任意一点,则·的最大值为________.

  [解析] 根据题意得:M(2,0),N(0,2).设P(2cos θ,2sin θ),

  则=(2-2cos θ,-2sin θ),=(-2cos θ,2-2sin θ),

  所以·=-4cos θ+4cos2θ-4sin θ+4sin2θ

  =4-4(sin θ+cos θ)=4-4sin,

  因为-1≤sin≤1,所以4-4≤·≤4+4,

  所以·的最大值为4+4.

  [答案] 4+4

  5.(2014·宿迁调研)已知点A(-2,0),B(0,0),动点P(x,y)满足·=x2,则点P的轨迹方程是________.

  [解析] =(-2-x,-y),=(-x,-y),则

  ·=(-2-x)(-x)+(-y)2=x2,

  y2=-2x.

  [答案] y2=-2x

  6.(2014·常州质检)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|+|=|-|,其中O为原点,则正实数a的值为________.

  [解析] 由|+|=|-|,知,

  |AB|=2,则得点O到AB的距离d=,

  =,

  解得a=2(a>0).

  [答案] 2

  7.(2014·南京、盐城二模)已知||=1,||=2,AOB=,=+,则与的夹角大小为________.

  [解析] 令=,=,因为||=1,||=2,所以||=||,由=+=+,得四边形OA1CB1为菱形.因为菱形对角线平分所对角,因此AOC=60°.

  [答案] 60°

  8.如图4­4­3,在ABC中,AB=AC,BC=2,=,=.若·=-,则·=________.

  图4­4­3

  [解析] 建立如图所示的直角坐标系,则·=·(1,-a)=-=-,解得a=2,所以=,=(-1,-2),所以·=-.

  [答案] -

  二、解答题

  9.(2014·苏北四市质检)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1).

  (1)若a⊥b,求的值;

  (2)若|a-b|=2,θ,求sin的值.

  [解] (1)由a⊥b可知,a·b=2cos θ-sin θ=0,所以sin θ=2cos θ,

  所以==.

  (2)由a-b=(cos θ-2,sin θ+1),可得|a-b|===2,

  即1-2cos θ+sin θ=0,

  又cos2θ+sin2θ=1,且θ,

  由可解得

  所以sin=(sin θ+cos θ)

  ==.

  10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(sin 2x,1-cos 2x),c=(0,1),x(0,π).

  (1)向量a,b是否共线?并说明理由;

  (2)求函数f(x)=|b|-(a+b)·c的最大值.

  [解] (1)b=(sin 2x,1-cos 2x)=(2sin xcos x,2sin2 x)

  =2sin x(cos x,sin x)=2sin x·a,且|a|=1,即a≠0.

  a与b共线.

  (2)f(x)=|b|-(a+b)·c

  =2sin x-(cos x+sin 2x,1-cos 2x+sin x)·(0,1)

  =2sin x-1+cos 2x-sin x=sin x-1+1-2sin2x

  =-2sin2x+sin x=-22+.

  当sin x=时,f(x)有最大值.

  [B级 能力提升练]

  一、填空题

  1.(2014·南京、盐城二模)在ABC中,点D在边BC上,且DC=2BD,ABAD∶AC=3k∶1,则实数k的取值范围为________.

  [解析] 因为DC=2BD,所以=+.平方得:2=2+2+||·||cos θ,θ(0,π),即k2=×32+×12+×3×1×cos θ=+cos θ,因为k>0,所以k.

  [答案]

  2.设O是ABC外接圆的圆心,=x+y,且||=6,||=8,4x+y=2,则·=________.

  [解析] 依题意=x+y=2x·+·(2),设=,=2,则E是AB中点,C是AF中点,=2x·+·.又因为4x+y=2,所以2x+=1,由三点共线的充要条件知E、O、F三点共线.由题意不难发现OEAB,即EFAB,那么在RtAEF中cosBAC==,·=6×8×cosBAC=9.

  [答案] 9

  二、解答题

  3.(2014·南京质检)设a=(cos α,(λ-1)sin α),b=(cos β,sin β),是平面上的两个向量,若向量a+b与a-b互相垂直.

  (1)求实数λ的值;

  (2)若a·b=,且tan β=,求tan α的值.

  [解]  (1)由(a+b)·(a-b)=0,得|a|2-|b|2=0,

  cos2α+(λ-1)2sin2α-cos2β-sin2β=0.

  (λ-1)2sin2α-sin2α=0,

  0<α<,sin α≠0,λ2-2λ=0,λ=2(λ>0).

  (2)由(1)知,a·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=,

  0<α<β<,-<α-β<0,

  sin(α-β)=-,tan(α-β)=-.

  tan α=tan[(α-β)+β]

  =

  ==.

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