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2015高考数学一轮复习同步检测:《函数的奇偶性与周期性》

中华考试网  2015-01-05  【

  一、选择题

  1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于(  ).A.3 B.1 C.-1 D.-3

  解析 由f(-0)=-f(0),即f(0)=0.则b=-1,

  f(x)=2x+2x-1,f(-1)=-f(1)=-3.

  答案 D

  2.已知定义在R上的奇函数,f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为 (  ).

  A.-1 B.0 C.1 D.2

  (构造法)构造函数f(x)=sin x,则有f(x+2)=sin=-sin x=-f(x),所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数,所以f(6)=sin 3π=0,故选B.

  答案 B

  3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则下列不等式一定成立的是(  ).

  A.f>f B.f(sin 1)f(sin 2)

  解析 当x[-1,1]时,x+4[3,5],由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|,

  显然当x[-1,0]时,f(x)为增函数;当x[0,1]时,f(x)为减函数,cos=-,sin =>,又f=f>f,所以f>f.

  答案 A

  4.已知函数f(x)=则该函数是(  ).

  A.偶函数,且单调递增 B.偶函数,且单调递减

  C.奇函数,且单调递增 D.奇函数,且单调递减

  解析 当x>0时,f(-x)=2-x-1=-f(x);当x<0时,f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时,f(0)=0,故f(x)为奇函数,且f(x)=1-2-x在[0,+∞)上为增函数,f(x)=2x-1在(-∞,0)上为增函数,又x≥0时1-2-x≥0,x<0时2x-1<0,故f(x)为R上的增函数.

  答案 C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数,当x[0,1)时,f(x)=4x-1,则f(-5.5)的值为(  )

  A.2 B.-1 C.- D.1

  解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.

  答案 .设函数D(x)=则下列结论错误的是(  ).

  A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数

  C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数

  解析 显然D(x)不单调,且D(x)的值域为{0,1},因此选项A、D正确.若x是无理数,-x,x+1是无理数;若x是有理数,-x,x+1也是有理数.D(-x)=D(x),D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数,D(x)为周期函数,B正确,C错误.

  答案 C二、填空题

  .若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.

  解析 由题意知,函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则f(1)=f(-1),1-|1+a|=1-|-1+a|,a=0.

  答案 0

  .已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________.

  解析 因为y=f(x)+x2是奇函数,且x=1时,y=2,所以当x=-1时,y=-2,即f(-1)+(-1)2=-2,得f(-1)=-3,所以g(-1)=f(-1)+2=-1.

  答案 -1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x[0,5]时,函数y=f(x)的图象如图所示,则使函数值y<0的x的取值集合为________.解析 由原函数是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上的图象,得它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案 (-2,0)(2,5)

  10. 设f(x)是偶函数,且当x>0时是单调函数,则满足f(2x)=f的所有x之和为________.

  解析 f(x)是偶函数,f(2x)=f,

  f(|2x|)=f,

  又f(x)在(0,+∞)上为单调函数,

  |2x|=,

  即2x=或2x=-,

  整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0,

  设方程2x2+7x-1=0的两根为x1,x2,方程2x2+9x+1=0的两根为x3,x4.

  则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.

  -8三、解答题

  .已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).

  (1)求f(1),f(-1)的值;

  (2)判断函数f(x)的奇偶性.

  解 (1)因为对定义域内任意x,y,f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y),所以令x=y=1,得f(1)=0,令x=y=-1,得f(-1)=0.

  (2)令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1),代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x),所以f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.

  .已知函数f(x)对任意x,yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.

  (1)求证f(x)是奇函数;

  (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

  (1)证明 令x=y=0,知f(0)=0;再令y=-x,

  则f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以f(x)为奇函数.

  (2)解 任取x10,所以f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0,所以f(x)为减函数.而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6.

  所以f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6.

  已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x[0,1]时,f(x)=2x-1,

  (1)求证:f(x)是周期函数;

  (2)当x[1,2]时,求f(x)的解析式;

  (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值.

  (1)证明 函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),函数f(x)的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.

  (2) 当x[1,2]时,2-x[0,1],

  又f(x)的图象关于x=1对称,则f(x)=f(2-x)=22-x-1,x[1,2].

  (3)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,

  f(3)=f(-1)=-f(1)=-1

  又f(x)是以4为周期的周期函数.

  f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)

  =f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1.

  .已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).

  (1)求证:f(x)是周期函数;

  (2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=x,求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.

  (1)证明 f(x+2)=-f(x),

  f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),

  f(x)是以4为周期的周期函数.

  (2)解 当0≤x≤1时,f(x)=x,

  设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,

  f(-x)=(-x)=-x.

  f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),

  -f(x)=-x,即f(x)=x.

  故f(x)=x(-1≤x≤1).

  又设1

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