1.若sin θ，cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根，则m的值为( ).
A.1+ B.1-
C.1± D.-1-
解析 由题意知：sin θ+cos θ=-，sin θcos θ=，
又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ，
=1+，
解得：m=1±，又Δ=4m2-16m≥0，
m≤0或m≥4，m=1-.
答案 B
2.若Sn=sin +sin +…+sin (nN*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是( ).
A.16 B.72 C.86 D.100
解析 由sin =-sin ，sin =-sin ，…，sin =-sin ，sin =sin =0，所以S13=S14=0.
同理S27=S28=S41=S42=S55=S56=S69=S70=S83=S84=S97=S98=0，共14个，所以在S1，S2，…，S100中，其余各项均大于0，个数是100-14=86(个).故选C.
答案 C
二、填空题
1.已知cosα=-，且α是第二象限的角，则tan(2π-α)=________.
解析由α是第二象限的角，得sinα==，tanα==-，则tan(2π-α)=-tanα=.
2.已知α为第二象限角，则cos α+sin α=________.
解析原式=cos α+sin α
=cos α+sin α =cos α+sin α=0.
答案0
3.已知sin α=+cos α，且α，则的值为________.
解析 依题意得sin α-cos α=，又(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2，即(sin α+cos α)2+2=2，故(sin α+cos α)2=;又α，因此有sin α+cos α=，所以==-(sin α+cos α)=-.
答案 -
4. f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(a，b，α，β均为非零实数)，若f(2 012)=6，则f(2 013)=________.
解析 f(2 012)=asin(2 012π+α)+bcos(2 012π+β)+4=asin α+bcos β+4=6，asin α+bcos β=2，f(2 013)=asin(2 013π+α)+bcos(2 013π+β)+4=-asin α-bcos β+4=2.
答案 2
三、解答题
1.已知=3+2，求cos2(π-α)+sin ·cos +2sin2(α-π)的值.
由已知得=3+2，
tan α===.
∴cos2(π-α)+sin cos +2sin2(α-π)
=cos2α+(-cos α)(-sin α)+2sin2α
=cos2α+sin αcos α+2sin2α
=
=
==.
2.已知sin(3π+α)=2sin，求下列各式的值：
(1);(2)sin2α+sin 2α.
解 法一 由sin(3π+α)=2sin，得tan α=2.
(1)原式===-.
(2)原式=sin2α+2sin αcos α=
==.
法二 由已知得sin α=2cos α.
(1)原式==-.
(2)原式===..是否存在α，β(0，π)，使等式sin(3π-α)=cos，cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在，求出α，β的值;若不存在，请说明理由.
解 假设存在角α，β满足条件，
则由已知条件可得
由2+2，得sin2α+3cos2α=2.
sin2α=，sin α=±.α∈，α=±.
当α=时，由式知cos β=，
又β(0，π)，β=，此时式成立;
当α=-时，由式知cos β=，
又β(0，π)，β=，此时式不成立，故舍去.
存在α=，β=满足条件.
3.已知函数f(x)=tan.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)设α，若f=2cos 2α，求α的大小.
解 (1)由2x+≠+kπ，kZ，得x≠+，kZ.所以f(x)的定义域为，f(x)的最小正周期为.
(2)由f=2cos 2α，得tan=2cos 2α，
=2(cos2α-sin2α)，
整理得=2(cos α+sin α)(cos α-sin α).
因为α，所以sin α+cos α≠0.
因此(cos α-sin α)2=，即sin 2α=.
由α，得2α.所以2α=，即α=.
