一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知an=，设am为数列{an}的最大项，则m=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析：作出函数an=1+，nN*的图象可得a8是数列{an}的最大项，故m=8.
答案：B
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n+1)·(Sn+1)=(n+2)2an，则数列{an}的通项公式为an=( )
A.(n+1)3 B.(2n+1)2
C.8n2 D.(2n+1)2-1
解析：当n=1时，4(1+1)(a1+1)=(1+2)2a1，解得a1=8，当n≥2时，由4(Sn+1)=，得4(Sn-1+1)=，两式相减得，4an=-，即=，所以an=··…··a1=××…××8=(n+1)3，经验证n=1时也符合，所以an=(n+1)3.
答案：A
3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=+，数列{an}满足an=f2(n)-f(n)，若其前m(mN*)项和为-，则m的值为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
解析：由题意[f(x+1)-]2=f(x)-f2(x)，即f2(x+1)-f(x+1)+=f(x)-f2(x)，所以-≤f2(n)-f(n)=an≤0，所以an+1+=-an，即an+1+an=-.若m为偶数，则其前m项和为-×=-，解得m=N*，所以m不可能是偶数，排除A、C;若m=17，则a17=S17-S16=-+×8=-，符合题意;若m=19，则a19=S19-S18=-+×9=>0，不符合题意，故排除D，选择B.
答案：B
4.在等比数列{an}中，a1=8，a4=a3·a5，则a7=( )
A.4 B. C.8 D.
解析：由等比数列的性质可得a=a3·a5，又a4=a3·a5，所以a=a4，解得a4=1(a4=0舍去)，又a1=8，所以8q3=1，得到q=，所以a7=8×6=，选D.
答案：D
5.已知数列{an}的通项公式为an=(nN*)，其前n项和Sn=，则双曲线-=1的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
解析：an==-，则Sn=1-+-+-+…+-=1-，由Sn==1-，可得n=9，则双曲线方程为-=1，其渐近线方程为y=±x=±x=±x，选C.
答案：C
6.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=6，则S5=( )
A.5 B.7 C.10 D.15
解析：由a1+a3+a5=6可得3a3=6，故a3=2，S5===5a3=10，选C.
答案：C
7.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足a=2Sn+n+4，且a2-1，a3，a7恰好构成等比数列的前三项，则a1=( )
A. B.1 C.2 D.4
解析：因为a=2Sn+n+4，所以a=2Sn-1+n-1+4(n≥2)，两式相减得a-a=2an+1，所以a=a+2an+1=(an+1)2，故an+1-an=1，又a=(a2-1)a7，所以(a2+1)2=(a2-1)(a2+5)，解得a2=3，又a=2a1+1+4，得到a1=2，选C.
答案：C
8.已知函数f(x)=，数列{an}满足a1=1，an+1=f，nN*，则数列{an}的通项公式为( )
A.an=n+ B.an=n-
C.an=n+ D.an=n+
解析：依题意可得an+1=，则有an+1=an+，故数列{an}是以1为首项，为公差的等差数列，则an=1+(n-1)×=n+，故选A.
答案：A
9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a3=8a2，且a1与a2的等差中项为12，则S5的值为( )
A.496 B.33 C.31 D.
解析：由等比数列的性质可得a1a3=a，又a1a3=8a2，故a=8a2，解得a2=8(a2=0舍去)，因为a1与a2的等差中项为12，所以a1+a2=24，故a1=16，所以公比q=，故S5===31，故选C.
答案：C
10.已知an=sin，Sn=a1+a2+…+an，nN*，则在S1，S2，…，S2016中，值为正数的个数为( )
A.2 016 B.2 015
C.1 003 D.1 008
解析：依题意知，a1≥0，a2≥0，…，a50≥0，a51≤0，a52≤0，…，a100≤0，考虑到y=的递减性及正弦函数的周期性，有a1+a51>0，a2+a52>0，…，故S1，S2，…，S100均为正数，以此类推，可知S1，S2，…，S2016均为正数，故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.已知在数列{an}中，a1=1，a2=0，若对任意的正整数n，m(n>m)，有a-a=an-man+m，则a2 015=________.
解析：令n=2，m=1，则a-a=a1a3，得a3=-1;令n=3，m=2，则a-a=a1a5，得a5=1;令n=5，m=2，则a-a=a3a7，得a7=-1，所以猜想当n为奇数时，{an}为1，-1,1，-1，…，所以a2 015=-1.
答案：-1
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则·的最大值为________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，则a2+a4+a9=3a1+12d=24，即a1+4d=8，所以==a1+d=8-4d+d，则=8-4d+d=8-，=8-4d+d=8+，·==64-≤64，当且仅当d=0时取等号，所以·的最大值为64.
答案：64
13.设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，若a4，a3，a5成等差数列，则=________.
解析：若a4，a3，a5成等差数列，则有2a3=a4+a5，即2a1q2=a1q3+a1q4，因为q≠1，a1≠0，所以2=q+q2，解得q=-2，则==1+q2=1+(-2)2=5.
答案：5
14.已知数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn=an+1-an(nN*)，若b3=-2，b10=12，则a8=________.
解析：因为{bn}为等差数列，b3=-2，b10=12，故b10=-2+7d=12，解得d=2，b3=b1+2×2=-2，解得b1=-6，故bn=-6+(n-1)×2=2n-8，所以an+1-an=2n-8，an-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=(2×1-8)+(2×2-8)+…+[2×(n-1)-8]=n(n-1)-8(n-1)=n2-9n+8(n≥2)，所以an=n2-9n+8+3=n2-9n+11，故a8=82-9×8+11=3.
答案：3
15.已知数列{an}为等差数列，且各项均不为0，Tn为前n项和，T2n-1=a，nN*，若不等式+1≥对任意的正整数n恒成立，则t的取值范围为__________________.
解析：因为an=a1+(n-1)d，Tn=na1+d，所以T2n-1=(2n-1)a1+d=(2n-1)[a1+(n-1)d]=(2n-1)an，又T2n-1=a，所以(2n-1)an=a，又an≠0，故an=2n-1，因为+1≥对任意的正整数n恒成立，即+1≥.当n为偶数时，有(2n+1)≥-t对任意的正整数n恒成立，则由(2n+1)≥-t可得+2n+9≥-t，设f(x)=+2x，f′(x)=2-，当且仅当x=时 ，f(x)取得最小值，所以当n=1或2时，+2n+9取得最小值，即15≥-t，所以t≥-15;当n为奇数时， 有(2n+1)≥t对任意的正整数n恒成立，则由(2n+1)≥t可得2n--7≥t，设g(x)=2x-，g′(x)=+2>0，所以当n=1时，2n--7取得最小值，即t≤-9.综上可得-15≤t≤-9.
答案：-15≤t≤-9
