10.解:(1)由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,
两式相减,得an+1(an+2-an)=λan+1.
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.
由(1)知,a3=λ+1.
令2a2=a1+a3,解得λ=4.
故an+2-an=4.
由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
11.D 解析:{}为递减数列,
=<1.
∴a1d<0.故选D.
12.B 解析:易得Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80.
又S4=a1+a2+a3+a4=40,
所以4(a1+an)=120,a1+an=30.
由Sn==210,得n=14.
13.B 解析:a1=19,an+1-an=-3,
∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列.
an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.
设{an}的前k项和数值最大,
则有kN+.
∴
∴≤k≤.
∵k∈N+,∴k=7.
∴满足条件的n的值为7.
14. 解析:因为2(nN+,n≥2),
所以数列{}是以=1为首项,以d==4-1=3为公差的等差数列.
所以=1+3(n-1)=3n-2.
所以an=,n≥1.
所以a7=.
15.(1)证明:当n=1时,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0,
解得a1=3(a1=-1舍去).
当n≥2时,有2Sn-1=+n-5.
又2Sn=+n-4,
两式相减得2an=+1,
即-2an+1=,
也即(an-1)2=,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.
若an-1=-an-1,则an+an-1=1.
而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,
所以an-1=an-1,即an-an-1=1.
因此,数列{an}为首项为3,公差为1的等差数列.
(2)解:由(1)知a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)×1=n+2,即an=n+2.
16.(1)证明:由an=+2(n-1),得Sn=nan-2n(n-1)(nN+).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),
即an-an-1=4,
故数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列.
于是,an=4n-3,Sn==2n2-n(nN+).
(2)解:由(1),得=2n-1(nN+).
又S1++…+-(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.
令2n-1=2015,得n=1008,
即存在满足条件的自然数n=1008.
