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2017年北京高考数学提分专项练习及答案(一)_第2页

中华考试网  2016-12-06  【

三、解答题

11.袋内装有6个球,这些球依次被编号为1,2,3,…,6,设编号为n的球重n2-6n+12(单位:克),这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响).

(1)从袋中任意取出1个球,求其重量大于其编号的概率;

(2)如果不放回地任意取出2个球,求它们重量相等的概率.

命题立意:本题主要考查古典概型的基础知识,考查考生的计算能力.

解析:(1)若编号为n的球的重量大于其编号,则n2-6n+12>n,即n2-7n+12>0.

解得n<3或n>4.所以n=1,2,5,6.

所以从袋中任意取出1个球,其重量大于其编号的概率P==.

(2)不放回地任意取出2个球,这2个球编号的所有可能情形为:

1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;

2,3;2,4;2,5;2,6;

3,4;3,5;3,6;

4,5;4,6;

5,6.

共有15种可能的情形.

设编号分别为m与n(m,n{1,2,3,4,5,6},且m≠n)的球的重量相等,则有m2-6m+12=n2-6n+12,

即有(m-n)(m+n-6)=0.

所以m=n(舍去)或m+n=6.

满足m+n=6的情形为1,5;2,4,共2种情形.

故所求事件的概率为.

12.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.

(1)从袋中随机抽取一个球,将其编号记为a,然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球,将其编号记为b,求关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率;

(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号记为m,将球放回袋中,然后从袋中随机取一个球,该球的编号记为n.若以(m,n)作为点P的坐标,求点P落在区域内的概率.

命题立意:(1)不放回抽球,列举基本事件的个数时,注意不要出现重复的号码;(2)有放回抽球,列举基本事件的个数时,可以出现重复的号码,然后找出其中随机事件含有的基本事件个数,按照古典概型的公式进行计算.

解析:(1)设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.

当a>0,b>0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.以下第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.基本事件共12个:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).

事件A中包含6个基本事件:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3).

事件A发生的概率为P(A)==.

(2)先从袋中随机取一个球,放回后再从袋中随机取一个球,点P(m,n)的所有可能情况为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.

落在区域内的有(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),共4个,所以点P落在区域内的概率为.

13.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中实数a的值;

(2)若该校高一年级共有学生640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;

(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生,求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.

命题立意:本题以频率分布直方图为载体,考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、推理论证能力和运算求解能力,考查数形结合、化归与转化等数学思想方法.

解析:(1)由已知,得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,

解得a=0.03.

(2)根据频率分布直方图可知,成绩不低于60分的频率为1-10×(0.005+0.01)=0.85.

由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544.

(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2,这2人分别记为A,B;成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4,这4人分别记为C,D,E,F.

若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生,则所有的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15个.

如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内,那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.

记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有:(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共7个.

所以所求概率为P(M)=.

14.新能源汽车是指利用除汽油、柴油之外其他能源的汽车,包括燃料电池汽车、混合动力汽车、氢能源动力汽车和太阳能汽车等,其废气排放量比较低,为了配合我国“节能减排”战略,某汽车厂决定转型生产新能源汽车中的燃料电池轿车、混合动力轿车和氢能源动力轿车,每类轿车均有标准型和豪华型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

燃料电池轿车 混合动力轿车 氢能源动力轿车 标准型 100 150 y 豪华型 300 450 600 按能源类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中燃料电池轿车有10辆.

(1)求y的值;

(2)用分层抽样的方法在氢能源动力轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆轿车,求至少有1辆标准型轿车的概率;

(3)用随机抽样的方法从混合动力标准型轿车中抽取10辆进行质量检测,经检测它们的得分如下:9.3,8.7,9.1,9.5,8.8,9.4,9.0,8.2,9.6,8.4.把这10辆轿车的得分看作一个样本,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4的概率.

命题立意:本题主要考查概率与统计的相关知识,考查学生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.对于第(1)问,设该厂这个月生产轿车n辆,根据分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有燃料电池轿车10辆,列出关系式,得到n的值,进而得到y值;对于第(2)问,由题意知本题是一个古典概型,用列举法求出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数,根据古典概型的概率公式得到结果;对于第(3)问,首先求出样本的平均数,求出事件发生包含的事件数和满足条件的事件数,根据古典概型的概率公式得到结果.

解析:(1)设该厂这个月共生产轿车n辆,由题意,得

=,n=2 000,y=2 000-(100+300)-150-450-600=400.

(2)设所抽样本中有a辆标准型轿车,由题意得a=2.因此抽取的容量为5的样本中,有2辆标准型轿车,3辆豪华型轿车,用A1,A2表示2辆标准型轿车,用B1,B2,B3表示3辆豪华型轿车,用E表示事件“在该样本中任取2辆轿车,其中至少有1辆标准型轿车”,则总的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个,事件E包含的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个,故所求概率为P(E)=.

(3)样本平均数=×(9.3+8.7+9.1+9.5+8.8+9.4+9.0+8.2+9.6+8.4)=9.

设D表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4”,则总的基本事件有10个,事件D包括的基本事件有9.3,8.7,9.1,8.8,9.4,9.0,共6个.

所求概率为P(D)==.

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