2019年证券分析师考试复习讲义：第十章_第5页

　　第三节 期权估值

　　一、期权定价原理

　　期权定价模型的基础性假设为：股票价格的变化是一个随机过程，服从几何布朗运动。

　　几何布朗运动是指，在连续时间情况下，随机过程中随机变量的对数遵循布朗运动。

　　从公式可以看出，股票价格在短时期内的变动(即收益)来源于两个方面：一是短时间内的预期收益率的变化;二是随机正态波动项，它反映了股票价格变动的不确定性。

　　二、二叉树定价模型

　　二叉树模型，又称二项式模型，它假定在给定的时间间隔内，标的资产的价格运动方向只有上涨和下跌两种可能，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。模型还假定市场无摩擦、无信用风险、无套利机会、无利率风险以及投资者可以以无风险利率借入或贷出资金。

　　二叉树模型可以用于欧式期权，也可以用于美式期权，被广大投资者广泛应用。

　　例题：二叉树模型的假设有( )。

　　I.标的资产的价格运动方向只有向上和向下两个方向

　　Ⅱ.在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变

　　Ⅲ.期权只能在到期日执行

　　Ⅳ.市场无摩擦

　　A. I、Ⅱ B. I、Ⅱ、Ⅲ

　　C. Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ D. I、Ⅱ、Ⅳ

　　【答案】D

　　1、单步二叉树模型

　　假定股票在0时刻的价格(当前价格)为S0考虑以此股票为标的资产、到期日为T、执行价格为K的看涨期权的当前价格。假设T时刻，股票的价格变化只有两种可能：上涨到uS0(u>1)，或者下跌到dSn(d<1)，如图10—1所示。

　　2、两步二叉树模型

　　两步二叉树模型将期权有效期限分为两个时间间隔，每段时间间隔为T。如图10一2 所示。

　　图10一2 股票价格变动的两步二叉树图(步长为2T)

　　多步二叉树法与两步二叉树法操作步骤完全相同，当步数为n时，nT时刻股票价格共有n+1种可能，故步数比较大时，二叉树法更加接近现实的情形。

　　二叉树模型把期权有效时间分为几段，对价格进行树形分支，假设价格每一级向上或下跌的概率分别是多少，然后逐步从有效期的末端倒退到开始，并折现计算标的资产的价格和期权价格。

　　比如，期权到期100天，可以把它分为100个时间段，每天作为一个时间段(步长可自由设定，步长越长，计算越精确、速度越慢)，假设标的资产每天价格上涨的概率为65%，价格下跌的概率为35%，然后进行倒退折现计算。

　　二叉树模型的优点是方法简单，容易理解，而且适用于美式期权、欧式期权、现货期权、期货期权、标的资产支付红利的期权等各种期权。

　　缺点是分支太多，即步长太长，模型收敛、计算比较耗时。如果分支太少，精确度难免降低。另外，如果标的资产数量增加，树形算法的计算量很大。

　　例题：下列关于两步二叉树定价模型的说法正确的有( )。

　　I.总时间段分为两个时间间隔

　　Ⅱ.在第一个时间间隔末r时刻，股票价格仍以“或d的比例上涨或下跌

　　Ⅲ.股票有2种可能的价格

　　Ⅳ.如果其他条件不变，在2T时刻股票有3种可能的价格

　　A.I、II B.I、Ⅱ、Ⅳ

　　C. I、Ⅲ D. I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ

　　【答案】B

　　【解析】在两步二叉树定价模型中，总时间段分为两个时间间隔。期权期限为2T，在第一个时间间隔末，时刻，股票价格仍以u或d的比例上涨或下跌。如果其他条件不变，则在2T时刻，股票有3种可能的价格。

　　三、Black-Scholes-Merton定价模型和期权评价公式

　　1、Black—Scholes-Merton定价模型

　　(1)布莱克一斯科尔斯一默顿(B—S—M)定价模型的主要思想

　　在无套利机会的条件下，构造一个由期权与股票所组成的无风险资产组合，这一组合的收益率必定为无风险利率r，由此得出期权价格满足的随机微分方程，进而求出期权价格。

　　(2)B—S—M定价模型的基本假设

　　1)标的资产价格服从几何布朗运动。

　　2)标的资产可以被自由买卖，无交易成本，允许卖空。

　　3)期权有效期内，无风险利率r和预期收益率μ是常数，投资者可以以无风险利率无限制借入或贷出资金。

　　4)标的资产价格是连续变动的，即不存在价格的跳跃。

　　5)标的资产的价格波动率为常数。

　　6)无套利市场。

　　(3)利用B—S—M模型定价

　　2、期权平价公式

　　其中，C为看涨期权的价格;Ke-rt为行权价K的现值(连续复利);P为看跌期权的价格;S为标的证券现价。

　　期权价值由内在价值和时间价值构成，因而凡是影响内在价值和时间价值的因素，就是影响期权价格的因素。

　　(1)协定价格与市场价格。

　　协定价格与市场价格是影响期权价格最主要的因素。这两种价格的关系不仅决定了期权有无内在价值及内在价值的大小，而且还决定了有无时间价值和时间价值的大小。

　　一般而言，协定价格与市场价格间的差距越大，时问价值越小;反之，则时间价值越大。

　　这是因为时间价值是市场参与者因预期标的物市场价格变动引起其内在价值变动而愿意付出的代价。

　　当一种期权处于极度实值或极度虚值时，市场价格变动的空间已很小。只有在协定价格与市场价格非常接近或为平价期权时，市场价格的变动才有可能增加期权的内在价值，从而使时间价值随之增大。

　　(2)权利期间。

　　权利期间是指期权剩余的有效时间，即期权成交日至期权到期日的时间。

　　在其他条件不变的情况下，期权期间越长，期权价格越高;反之，期权价格越低。

　　这主要是因为权利期间越长，期权的时间价值越大;随着权利期间缩短，时间价值也逐渐减少;在期权的到期日，权利期间为零，时间价值也为零。通常，权利期间与时间价值存在同方向但非线性的影响。

　　(3)利率。

　　利率，尤其是短期利率的变动会影响期权的价格。

　　利率变动对期权价格的影响是复杂的：一方面，利率变化会引起期权标的物的市场价格变化，从而引起期权内在价值的变化;另一方面，利率变化会使期权价格的机会成本变化;同时，利率变化还会引起对期权交易的供求关系变化，因而从不同角度对期权价格产生影响。

　　例如，利率提高，期权标的物如股票、债券的市场价格将下降，从而使看涨期权的内在价值下降，看跌期权的内在价值提高;利率提高，又会使期权价格的机会成本提高，有可能使资金从期权市场流向价格已下降的股票、债券等现货市场，减少对期权交易的需求，进而又会使期权价格下降。

　　(4)标的物价格的波动性。

　　通常，标的物价格的波动性越大，期权价格越高;波动性越小，期权价格越低。

　　这是因为标的物价格波动性越大，则在期权到期时，标的物市场价格涨至协定价格之上或跌至协定价格之下的可能性越大，因此期权的时间价值乃至期权价格都将随标的物价格波动的增大而提高，随标的物价格波动的缩小而降低。

　　(5)标的资产的收益。

　　标的资产的收益将影响标的资产的价格。在协定价格一定时，标的资产的价格又必然影响期权的内在价值，从而影响期权的价格。

　　由于标的资产分红付息等将使标的资产的价格下降，而协定价格并不进行相应调整，因此在期权有效期内，标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，使看跌期权价格上升。