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质量工程师初级知识辅导:参数估计的学习(2)

考试网(www.examw.com)  2009年6月3日  
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三 正态总体参数的无偏估计

  设 是来自正态总体N( )的一个样本,现将参数 、 和 的常用的无偏估计分述如下。

  1正态均值 的无偏估计

  正态均值 的无偏估计有两个:

  (1) 是样本均值;

  (2) 是样本中位数;

  即:

  当n为偶数

  当n为奇数

  当样本量为1或2时,上述两个无偏估计相同;当 ≥3时,它们一般就不同。理论和实践都表明:在估计正态均值 时,用样本均值 总比用样本中位数 要更有效些,因为样本均值 使用了样本中全部信息,而样本中位数只用了样本中部分信息,但样本中位数 计算简单快捷,故在实际中也常被使用,统计过程控制(SPC,见第七章)中的中位数图就是一例。

  2正态方差 的无偏估计

  常用的只有一个,它就是样本方差 ,即:

  理论研究表明,它在 所有无偏估计中是最有效的。

  3正态标准差 的无偏估计

  正态标准差 的无偏估计有两个:

  (1) 一个是对样本极差R= 进行修偏而得,具体估计为:

  (2) 对样本标准差 进行修偏而得,具体估计是:

  其中 2与 是与样本无关而与样本量 有关的常数,常用的值列。

  对 =2时,上述两个无偏估计相同。当 时,它们一般不相同。

  例2 从某厂生产的一批铆钉中随机抽取10个,测得其头部直径分别为:13.30,13.38,13.40,13.43,13.32,13.48,13.34,13.47,13.44,13.50,若铆钉头部直径这一总体的分布是正态分布 ,求总体X的均值 和标准差 的估计。

  解析:

  因 ,可用 估计 ,用 估计 ,它们分别为:

  在本例中,利用样本标准差 可得到 的另一估计:

  四 正态概率纸

  正态概率纸是一种特殊的坐标纸,其横坐标是等间隔的,纵坐标是按标准正态分布函数值给出的。

  正态概率纸的意义:

  1检验一组数据(即样本) 是否来自正态分布。

  具体操作如下:

  ①把样本数据排序: ;

  ②在点 处,用修正频率 (或 )估计累计概率 。

  计算这些估计值;

  ③把 个点逐一点在正态概率纸上。

  ④用目测法判断:

  若这 个点近似在一直线附近,则认为该样本来自某正态总体;若 个点明显不在一直线附近,则认为该样本来自非正态总体。

  正态概率纸上作图的步骤:

  例3 随机选取10个零件,测得其直径与标准尺寸的偏差如下(单位:丝):

  100.5, 90.0, 100.7, 97.0, 99.0, 105.0, 95.0, 86.0, 91.7, 83.0。

  解析:

  在正态概率纸上作图的步骤如下:

  ①将数据按从小到大的次序排列: ;

  ②计算修正频率;

  ③将点 ,逐一点在正态概率纸上;

  ④观察上述 个点的分布状态,从图上可见,10个点基本在一条直线附近,因此认为直径与标准尺寸的偏差服从正态分布。

  2. 在确认样本来自正态分布后,可在正态概率纸上作出正态均值 与正态标准差 的估计。具体操作如下:

  (1)在图上用目测法画出一条直线;

  (2)从纵轴0.50处画一水平线与直线 交于A点,从A点落下垂线,垂足M的横坐标便是正态均值u的估计值;

  (3)从纵轴为0.84处画一水平线与直线 交于B点,从B点落下垂线,垂足N的横坐标是 的估计值,故线段MN的长度就是正态标准差 的估计值。

  3. 在确认样本来自非正态分布后,可对数据作变换后再在正态概率纸上描点,若诸点近似在一直线附近,则可认为变换后的数据来自某正态总体,常用的变换有如下两个:

  或 若数据 经对数变换 ,后在正态概率纸上呈直线状,则可认为 ,并在图上定出u与 ,这时X服从对数正态分布,记为 。

  当数据 经倒数变换 ,后在正态概率纸上呈直线状,则可认为 ,并在图上定出u与 。这时X服从倒正态分布,记为 。

来源:考试网-质量工程师考试

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