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《初中数学》竞赛训练题及答案(3)_第2页

来源:中华考试网收藏本页   【 】  [ 2014年11月14日 ]

  数学竞赛训练题四答案

  一、选择题

  1.设函数 如果 那么 的值等于( )

  A.3 B.7 C.-3 D.-7

  解:取 ,而当 ,所以 ,故选C.

  2.已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点,且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离,那么在侧面SBC内,动点P的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线是( )

  A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 D.抛物线或椭圆

  解:把问题转化成动点P到S的距离与它到边BC的距离比值问题,容易的出答案D

  3.给定数列{xn},x1=1,且xn+1= ,则 =( )

  A,1 B.-1 C.2+ D.-2+ 解:xn+1= ,令xn=tanαn,∴xn+1=tan(α­n+ ), ∴xn+6=xn, x1=1,x2=2+ , x3=-2- , x4=-1, x5=-2+ , x6=2- , x7=1,……,∴有 。故选A。

  4.已知 ,定义 ,则 (    )

  A. B. C. D. 解:计算 可知 是最小正周期为6的函数。即得 ,所以 = ,故选C.

  5.已知双曲线 的右焦点为F,右准线为 ,一直线交双曲线两支于P、Q两点,交 于R,则  (    )

  A. B.

  C. D. 解:分别做 由相似三角形的性质,得 ,又有双曲线的第二定义,得 故 平分 所以选C.

  6.在△ABC中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1),且 , 都是方程log x=logb(4x-4)的根,则△ABC( )

  A.是等腰三角形,但不是直角三角形 B.是直角三角形,但不是等腰三角形

  C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

  解:由log x=logb(4x-4)得:x2-4x+4=0,所以x1=x2=2,故C=2A,sinB=2sinA,因A+B+C=180°,所以3A+B=180°,因此sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,∵sinA(1-4sin2A)=0,又sinA≠0,所以sin2A= ,而sinA>0,∴sinA= 。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。

  二、填空题

  7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________.

  答案: 。 由对称性只考虑y≥0,因为x>0,∴只须求x-y的最小值,令x-y=u,代入x2-4y2=4,有3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于y的二次方程显然有实根,故△=16(u2-3)≥0。

  8.如果:(1)a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4}

  (2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a

  (3)a是a, b, c, d中的最小数

  那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.

  答案:46个。abcd中恰有2个不同数字时,能组成C =6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时,能组成 =16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时,能组成A =24个不同数,所以符合要求的数共有6+16+24=46个。

  9.设 则关于 的方程 的所有实数解之和为

  答案:4解:令 变形为 可以发现函数 是R上的减函数。又因为 ,从而关于 的方程 的解分别为0、1、3,

  10.若对|x|≤1的一切x,t+1>(t2-4)x恒成立,则t的取值范围是_______________.

  答案: 。解:①若t2-4>0,即t<-2或t>2,则由 >x(|x|≤1)恒成立,得 , t+1>t2-4, t2-t-s<0解得 ,从而 -t2+4; t2+t-3>0,解得:t< 或t> ,从而

  11.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为 。

  解:设直角三角形的三边为a,b, ,则有 =a+b+ , ,两边平方并整理有ab-4a-4b+8=0, (a-4)(b-4)=

  8, a,b都是正整数, a=5时b=12;a=6时b=8,所以满足题意的三角形有2个。

  12.对每一实数对(x, y),函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2,试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.

  答案:1或-2。令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1,由f(-2)=-2得,f(-1)=-2,又令x=1, y=-1可得f(1)=1,再令x=1,得f(y+1)=f(y)+y+2 ①,所以f(y+1)-f(y)=y+2,即y为正整数时,f(y+1)-f(y)>0,由f(1)=1可知对一切正整数y,f(y)>0,因此y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t,由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。

  下面证明:当整数t≤-4时,f(t)>0,因t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0,

  即f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0

  相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故f(t)>t。综上所述:满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。

  三、解答题:

  13.已知a, b, c∈R+,且满足 ≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求k的最小值。

  解:因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 )2+(2 +2 )2=

  4ab+8ac+8bc+16c 。所以 ≥ 。

  当a=b=2c>0时等号成立。故k的最小值为100。

  14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线 的距离为2,Q是 上一动点,⊙Q与⊙P相外切,⊙Q交 于M、N两点,对于任意直径MN,平面上恒有一定点A,使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。

  解:以 为x轴,点P到 的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系,设Q的坐标为(x, 0),点A(k, λ),⊙Q的半径为r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= =1+r。所以x=± , ∴tan∠MAN= ,令2m=h2+k2-3,tan∠MAN= ,所以m+r k =nhr,∴m+(1-nh)r= ,两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,因为对于任意实数r≥1,上式恒成立,所以 ,由(1)(2)式,得m=0, k=0,由(3)式,得n= 。由2m=h2+k2-3得h=± ,所以tan∠MAN= =h=± 。所以∠MAN=60°或120°(舍)(当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°),故∠MAN=60°。

  

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