6 . 如果X→Y和X→Z成立，那么X→YZ也成立，这个推理规则称为___________ 。 (问答题)

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　　合并规则

　　7 . 如果关系模式R是第二范式，且每个非主属性都不传递依赖于R的候选码，则称R为________ 关系模式。 (问答题)

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　　3NF

　　8 .试举出三个多值依赖的实例。 (填空题)

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　　(1) 关系模式MSC(M，S，C)中，M表示专业，S表示学生，C表示该专业的必修课。假设每个专业有多个学生，有一组必修课。设同专业内所有学生的选修的必修课相同，实例关系如下。按照语义对于M的每一个值M i，S有一个完整的集合与之对应而不问C取何值，所以M→→S。由于C与S的完全对称性，必然有M→→C成立。(2) 关系模式ISA(I，S，A)中，I表示学生兴趣小组，S表示学生，A表示某兴趣小组的活动项目。假设每个兴趣小组有多个学生，有若干活动项目。每个学生必须参加所 在兴趣小组的所有活动项目，每个活动项目要求该兴趣小组的所有学生参加。按照语义有I→→S，I→→A成立。 (3) 关系模式RDP(R，D，P)中，R表示医院的病房，D表示责任医务人员，P表示病人。假设每个病房住有多个病人，有多个责任医务人员负责医治和护理该病房的所有病人。按照语义有R→→D，R→→P成立。

　　9 . 在函数依赖中，平凡函数依赖是可以根据Armstrong推理规则中的__________ 律推出的。 (问答题)

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　　自反

　　10 .试证明《概论》上给出的关于FD和MVD公理系统的A4，A6和A8。 (填空题)

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　　A4：若X→→Y，V?W?U，则XW→→YV 设Z=U-X-Y 已知X→→Y，设r是R上的任一关系，s、t∈r，且t[X]=s[X]，则存在元组p、q∈r，使p[X]=q[X]=t[X]，而p[Y]=t[Y]，p[Z]=s[Z]，q[Y]=s[Y]，q[Z]=t[Z]。 设t[XW]=s[XW]，我们以上构造的元组p和q，是某部分属性在s和t上翻转而成，所以p[W]=q[W]，可知p[XW]=q[XW]，同理p[YV]=t[YV](由V?W知t[V]=s[V])，q[YV]=s[YV]，p[U-YV-XW]=s[U-YV-XW](因为U-YV-XW?Z)，q[U-YV-XW]=t[U-YV-XW]。所以XW→→YV。 A6：若X→→Y，Y→→Z则X→→Z-Y 由Y→→Z容易证得Y→→Z-Y。设R1=U-X-Y，R2=U-Y-Z，R3=U-X-Z+Y。已知X→→Y，设r是R上的任一关系，s、t∈r，且t[X]=s[X]，则存在元组p、q∈r，使p[X]=q[X]=t[X]，而p[Y]=t[Y]，p[R1]=s[R1]，q[Y]=s[Y]，q[R1]=t[R1]。对元组t、p，已知t[Y]=p[Y]，t[X]=p[X]，由Y→→Z-Y知：存在元组m∈r，使m[Z-Y]=p[Z-Y]，m[R2]=t[R2]。因为(Z-Y)?R1，又p[R1]=s[R1]，所以m[Z-Y]=s[Z-Y]。因为元组p和s在除属性Y之外的属性上值相等，所以m[R2]=t[R2]，另外元组m是由元组t和p交换某些属性上的值而产生的，而t和p在属性X上值相等，显然m[X]=t[X]，所以m[U-(Z-Y)]=t[U-(Z-Y)]，即m[R3]=t[R3]。对元组s、q，同理可知s[Y]=q[Y]，存在元组n，使n[Z-Y]=t[Z-Y]，即n[R3]=s[R3]。综上所述，对t、s∈r，t[X]=s[X]，存在元组m、n∈r，使m[X]=n[X]=t[X]，而m[Z-Y]=s[Z-Y]，m[R3]=t[R3]，n[Z-Y]=t[Z-Y]，n[R3]=s[R3]。 A8：若X→→Y，W→Z，W∩Y=Φ，Z?Y，则X→Z。设r是R上的任一关系，对任意s、t∈r，若t[X]=s[X]，设R1=U-X-Y，则根据X→→Y知：存在元组p、q∈r，使p[X]=q[X]=t[X]，而p[Y]=t[Y]，p[R1]=s[R1]，q[Y]=s[Y]，q[R1]=t[R1]。因为W∩Y=Φ，所以s[W]=p[W]，又W→Z，所以s[Z]=p[Z];因为Z?Y，且p[Y]=t[Y]，所以p[Z]=t[Z];所以可得t[Z]=s[Z]，即X→Z。

　　11 . 关系模式规范化需要考虑数据间的依赖关系，人们已经提出了多种类型的数据依赖，其中最重要的是_____________和___________。 (问答题)

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　　函数依赖 多值依赖

　　12 .设关系模式为R(U，F)，X，Y为属性集，X，Y?U。证明: (1)X?XF+ (2)(XF+)F+=XF+ (3)若X?Y则XF+?YF+ (4)UF+=U (填空题)

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　　(1)因为X→X 所以X?XF+ (根据XF+的定义)(2) *解析 1 要证明(XF+)F+=XF+ 只要证明 XF+ ?(XF+)F+ 并且(XF+)F+ ? XF+ 而XF+ ?(XF+)F+ 是显然的，因此只要证明(XF+)F+ ? XF+ 2 这里的证明要用集合论的基本知识，同学们应该复习一下有关集合论中的有关概念和证明方法。证明：下面求证(XF+)F+?XF+ 任意A∈(XF+)F+，(由题意知)存在B∈XF+，使B→A能由F根据Armstrong公理导出，而从B∈XF+ 可知X→B能由F根据Armstrong公理导出，根据公理中的传递律可知X→A能由F根据Armstrong公理导出，所以A∈XF+，因此(XF+)F+ ? XF+。所以(XF+)F+=XF+。 (3)对任意A∈XF+ ，可知X→A能由F根据Armstrong公理导出，因为X?Y，由自反律可以得Y→X，由传递律得Y→A，所以A∈YF+ 。 XF+?YF+ 得证。 (4) *解析 要证明UF+=U 只要证明 U? UF+ 并且 UF+ ?U U? UF+ 是显然的;下面证明UF+? U，即证U由F据Armstrong公理推出的集合仍属于U： 自反律：Y ? U，U→Y为F所蕴含。显然U由F据Armstrong公理的自反律推出的Y仍属于U; 增广律：U→Y为F所蕴含，且Z?U，则U Z→YZ为F所蕴含，YZ?U。 传递律：U→Y 和Y→Z都为F所蕴含，则U→Z为F所蕴含。Z?U。

　　13 . 设关系R(U)，X，Y∈U，X→Y是R的一个函数依赖，如果存在X′∈X，使X′→Y成立，则称函数依赖X→Y是___________ 函数依赖。 (问答题)