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考研数学:线性方程组的3个重要问题

来源:华课网校  [2016年3月20日]  【

  线性方程组的特点:方程是未知数的一次齐次式,方程组的数目s和未知数的个数n可以相同,也可以不同。

  关于线性方程组的解,有三个问题值得讨论:(1)、方程组是否有解,即解的存在性问题;(2)、方程组如何求解,有多少个解;(3)、方程组有不止一个解时,这些不同的解之间有无内在联系,即解的结构问题。

  高斯消元法是最基础和最直接的求解线性方程组的方法,其中涉及到三种对方程的同解变换:(1)、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去;(2)、交换某两个方程的位置;(3)、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

  任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。由具体例子可看出,化为阶梯形方程组后,就可以依次解出每个未知数的值,从而求得方程组的解。

  对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置,所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来,形成一张表,通过研究这张表,就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组,这至少在书写和表达上都更加简洁。因此我们可以得到线性方程组的三种表达形式:

  

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