随机变量与描述性统计量
(一)随机变量
1.定义
我们将一个能取得多个可能值的数值变量x称为随机变量。
如果一个随机变量X最多只能取可数的不同值，则为离散型随机变量;如果X的取值无法一一列出，可以遍取某个区间的任意数值，则为连续型随机变量。
2.随机变量的分布
(1)如果X是离散型的，X最多可能取n个值x0，x1，…，xn，并且记pi=P{X=xi}是X取xi的概率，所有概率的总和。
(2)如果X是一个连续型随机变量，由于无法列出X取每个特定值的概率，我们改用概率密度函数来刻画X的分布性质。
(二)随机变量的数字特征与描述性统计量
常用的一些数字特征和它们的描述性统计量有下面几种：
1.期望(均值)
随机变量X的期望(或称均值，记做E(X))衡量了X取值的平均水平;它是对X所有可能取值按照其发生概率大小加权后得到的平均值。
在X的分布未知时，用抽取样本X1，…，Xn的算术平均数(样本均值)。
【例题·计算题】某投资者将其资金分别投向A、B、C三只股票，占总资金的比重分别为40%、40%、20%;股票A、B、C的期望收益率分别为Ra=14%、Rb=20%、Rc=8%。该股票组合的收益率是对少?
【答案与解析】则该股票组合的收益率Rp=0.4×14%+0.4×20%+0.2×8%=15.2%。
2.方差与标准差
对于投资收益率r，用方差(δ2)或标准差(δ)来衡量它偏离期望值的程度。其中方差=δ2=E[(r-Er)2]的数值越大，收益率r偏离期望收益率Er的程度越大，数值越小偏离就越小。方差和标准差除了应用于分析投资收益率，还可以用来研究价格指数、股价指数等的波动情况。
3.分位数
分位数通常被用来研究随机变量X以特定概率(或者一组数据以特等比例)取得大于或等于(或小于等于)某个值的情况。一般来说，设0≤α≤1，随机变量X的上α分位数是指满足概率值P{X≥xα｝=α的数xα，下α分位数是指满足概率值P{X≤x*α｝=α的数x*α。
4.中位数
中位数是用来衡量数据取值的中等水平或一般水平的数值。对于随机变量x来说，它的中位数就是上50%分位数x50%，这意味着Ⅳ的取值大于其中位数和小于其中位数的概率各为50%。对于一组数据来说，中位数就是大小处于正中间位置的那个数值。
【例题·单选题】通常被用来研究随机变量X以特定概率取得大于或等于某个值的情况的统计量是( )。
A.分位数
B.方差
C.标准差
D.中位数
【答案】A
【解析】分位数通常被用来研究随机变量X以特定概率(或者一组数据以特等比例)取得大于或等于(或小于等于)某个值的情况。
二、正态分布
正态分布是最重要的一类连续型随机变量分布，当一个随机变量的取值受到大量不同因素作用的共同影响，并且单个因素的影响都微不足道的时候，这个随机变量就服从或近似服从正态分布。
正态分布密度函数的显著特点是中间高两边低，由中间(X=p)向两边递减，并且分布左右对称，是一条光滑的“钟形曲线”。
正态分布距离均值越近的地方数值越集中，而在离均值较远的地方数值则很稀疏;这意味着正态分布出现极端值的概率很低，而出现均值附近的数值的概率非常大。同时图像越“瘦”，正态分布集中在均值附近的程度也越大。
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责编：jiaojiao95
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