注册化工工程师基础考试高等数学知识点(18)
来源:中华考试网  2020/12/8 17:55:50  

两平面的夹角

1.       两平面的夹角:      两平面的法线向量的夹角(通常指锐角).

设平面П1П2的法线向量依次为:

               n1=(A1,B1,C1n2=(A2,B2,C2)

则平面П1П2的夹角θ为(n1^n2)和π-(n1^n2)中的锐角,

        Þ    cosθ=|cos(n1^n2)|,

即有:

平面П1П2垂直        Û   A1A2+B1B2+C1C1=0

       平面П1П2平行        Û   A1/A2=B1/B2=C1/C1


例1. 求两平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角.

解:                 n1=(1,-1,2)         n2=(2,1,1)

Þ       cosθ= =

Þ       θ=π/3

例2. 一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.

解:设所求平面的一个法向量为   n={A,B,C}.

nM1M2=(-1,0,-2)            Þ    -A-2C=0

n⊥(1,1,1)                         Þ    A+B+C=0

Þ    A=-2C,B=C,

代入点法式方程:            A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0

消去C得所求方程为:

2x-y-z=0

点到平面的距离

例3.设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到这平面的距离.

解:在平面上任取一点P1(x1,y1,z1),并作一法向量n={A,B,C}.

则所求距离:d=│PrjnP1P0│.

又设en为与n方向一致的单位向量,

则有:        PrjnP1P0= P1P0en