一、选择题
已知定义在R上的函数f(x)其导函数f′(x)的大致图象所示则下列叙述正确的是( )
(b)>f(c)>f(d)
(b)>f(a)>f(c)
(c)>f(b)>f(a)
f(c)>f(b)>f(d)
解析 由f′(x)的图象知[a，c]时(x)≥0，f(x)为增函数>b>a(c)>f(b)>f(a).
答案
2.若函数f(xkx-在区间(1+∞)上单调递增则k的取值范围是( )
(-∞-2] B.(-∞-1]
[2，+∞) D.[1+∞)
解析 由于f′(x)=k-(x)=kx-在区间(1+∞)上单调递增⇔(x)=k-在(1+∞)上恒成立由于k≥而0<<1所以k≥1.即k的取1，+∞).
答案
3.(2016·保定模拟)函数f(x)=x-3ax-a在(0)内有最小值则a的取值范围是( )
[0，1) B.(-1)
C. D.(0，1)
解析 f′(x)=3x-3a=3(x-a).当a0时(x)>0
∴f(x)在(0)内单调递增无最小值.
当a>0时(x)=3(x-)(x+).
当x∈(-∞-)和(+∞)时(x)单调递增;
当x∈(-)时(x)单调递减
所以当<1即0 答案 4.已知f(x)=x+ax+bx-a-7a在x=1处取得极大值10则的值为( ) --2 -2或-或- 解析 由题意知f′(x)=3x+2ax+b(1)=0(1)=10即解得或 经检验满足题意故=- 答案 5.已知函数f(x)=+ax+3x+1有两个极a的取值范围是( ) (，+∞) B.(-∞-) (-) D.(-∞-)∪(+∞) 解析 f′(x)=x+2ax+3. 由题意知方程f′(x)=0有两个不相等的实数根 所以Δ=4a-12>0 解得a>或a<- 答案 二、填空题 已知函数f(x)=4+ax-6x+b(a为常数)且x=2为f(x)的一个极值点则a的值为________. 解析 由题意知函数f(x)的定义域为(0+∞) ∵f′(x)=+2ax-6(2)=2+4a-6=0即a=1. 答案 1 已知函f(x)=+-2x在定义域内是增函数则实数m的取值范围是____________. 解析 f′(x)=mx+-2≥0对一切x>0恒成立 ∴m≥-+ 令g(x)=-+则当=1时函数(x)取最大值1.故m≥1. 答案 [1+∞) (2016·北京卷)设函数f(x)= (1)若a=0则f(x)的最大值为________; (2)若f(x)无最大值a的取值范围是________ 解析 (1)当a=0时(x)= 若x≤0(x)=3x-3=3(x-1). 由f′(x)>0得x<-1由f′(x)<0得-1 (x)在(-∞-1)上单调递增; 在(-1]上单调递减(x)最大值为f(-1)=2. 若x>0(x)=-2x单调递减所以f(x) 所以f(x)最大值为2. (2)函数y=x-3x与y=-2x的图象如图. 由(1)知当a≥-1时(x)取得最大值2. 当a<-1时=-2x在x>a时无最大值.且-2a>2. 所以a<-1. 答案 (1)2 (2)(-∞-1) 三、解答题 (2016·北京卷)设函数f(x)=x-x+bx曲线y=f(x)在点(2(2))处的切线方程为y=(-1)x+4. (1)求a的值; (2)求f(x)的单调区间. 解 (1)f(x)的定义域为R. (x)=-x-x-x+b=(1-x)-x+b. 依题设即 解得a=2= (2)由(1)知f(x)=x-x+ 由f′(x)=-x(1-x+-1)及-x>0知 f′(x)与1-x+-1同号. 令g(x)=1-x+-1则g′(x)=-1+-1 所以当x∈(-∞)时(x)<0(x)在区间(-∞)上单调递减; 当x∈(1+∞)时g′(x)>0(x)在区间(1+∞)上单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-∞+∞)上的最小值 从而g(x)>0(-∞+∞) 综上可知(x)>0(-∞+∞). 故f(x)的单调递增区间为(-∞+∞). 已知f(x)=ax-R. (1)若f(x)在x=1处有极值求f(x)的单调递增区间; (2)是否存在实数a使f(x)在区间(0]上的最小值是3若存在求出a的值; 解 (1)由题意知f′(1)=0-1=0=1. 经检验a=1(x)在x=1处有极值 所以f(x)=x- 令f′(x)=1->0解得x>1或x<0 又f(x)的定义域为(0+∞) 所以f(x)的单调递增区间为(1+∞). (2)假设存在实数a使f(x)=ax-(x∈(0，e])有最小值3. 当a≤0时因为x∈(0]，所以f′(x)<0 所以f(x)在(0 f(x)min=f()=a-1=3解得a=(舍去); 当0<<时(x)在上单调递减在上单调递增 ∴f(x)min=f=1ln a=3解得a=满足条件; 当时因为x∈(0]，所以f′(x)<0 ∴f(x)在(0]上单调递减 ∴f(x)min=f()=a-1=3.解得a=舍去. 综上存在实数a=使得当x∈(0]时(x)有最小值3. 设函数f(x)=-k(k为常数=2.718 28…是自然对数的底数). (1)当k≤0时求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在(0)内存在两个极值点求k的取值范围. 解 (1)函数y=f(x)的定义域为(0+∞). (x)=-k =-= 由k≤0可得-kx>0 所以当x∈(0)时(x)<0函数y=f(x)单调递减 x∈(2，+∞)时(x)>0函数y=f(x)单调递增. 所以f(x)的单调递减区间为(0]，单调递增区间为[2+∞). (2)由(1)知时函数f(x)在(0)内单调递减 故f(x)在(0)内不存在极值点; 当k>0时设函数g(x)=-kx[0，+∞). 因为g′(x)=-k=-当0 当x∈(0)时(x)=-k>0=g(x)单调递增. 故f(x)在(0)内不存在两个极值点; 当k>1时得x∈(0)时(x)<0函数y=g(x)单调递减. (ln k，+∞)时(x)>0函数y=g(x)单调递增. 所以函数y=g(x)的g(ln k)=k(1-). 函数f(x)在(0)内存在两个极值点当且仅当 解得
