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计算题(每小题20分，共80分)
1.(2015·昆明模拟)如图所示，在xOy竖直平面的第一、四象限，有水平向右的匀强电场，在第二、三象限中存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场和场强大小与第一象限的场强大小相等、方向竖直向上的匀强电场.第一象限中P点的坐标是，在P点拴一根绝缘细线，长为R，细线另一端系一个质量为m、带电荷量为q的小球，现将细线拉至与水平方向成45°角由静止释放.小球摆至O点位置时，细线恰好脱开，小球跨过y轴，恰好做圆周运动.求：
(1)电场强度的大小;
(2)小球到达O点时的速度;
(3)小球在y轴左侧做匀速圆周运动的旋转半径.
答案：(1) (2)，方向与y轴正方向成60°角斜向上 (3)
解析：(1)小球跨过y轴，恰好做圆周运动，可知小球受到的电场力大小等于重力
Eq=mg
所以场强E=.
(2)小球从初始状态释放，摆动到O点，根据动能定理：
mgR-EqR=mv2
得小球的速度v=
速度的方向与y轴正方向成60°角斜向上.
(3)如图，小球在y轴左侧做匀速圆周运动，小球受到的电场力大小等于重力
洛伦兹力提供向心力F洛=m
即qvB=m
得旋转半径r=.
2.(2015·石家庄质检)如图所示，正三角形ABC内有B=0.1 T的匀强磁场，方向垂直于纸面向外，在BC边右侧有平行于BC且足够长的挡板EF，已知B点到挡板的水平距离BD=0.5 m.某一质量m=4×10-10 kg、电荷量q=1×10-4 C的粒子，以速度v0=1×104 m/s自A点沿磁场中的AB边射入，恰可从BC边水平射出打到挡板上.不计粒子重力.
(1)求粒子从BC边射出时，射出点距C点的距离和粒子在磁场中运动的时间;
(2)如果在BC至EF区域加上竖直向下的匀强电场，使粒子仍能打到挡板上，求所加电场电场强度的最大值.
答案：(1) m ×10-5 s (2)400 V/m
解析：(1)粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，半径为
r==0.4 m
MC的长度
lMC== m
粒子在磁场中的运动时间
t=×=×10-5 s.
(2)当粒子恰好打到挡板上Q点时，轨迹与挡板相切，速度方向沿挡板EF，如图乙所示，由类平抛运动的规律，Q点处粒子的速度的反向延长线交于水平位移的中点
有lMN=lNP
由题意知lMN=BD=0.5 m
当粒子打到Q点时，tan 60°=
在竖直方向上的分速度vy=at=t
粒子的运动时间t=
联立得E=400 V/m.
3.如图所示，在xOy坐标系中，x轴上方有方向沿x轴正向的匀强电场，下方有一半径为R的圆形有界匀强磁场，圆心在y轴上，且圆与x轴相切，磁场方向垂直于纸面向外.一质量为m、电荷量为q的带电粒子在坐标为(L,2L)的A点，以初速度v0沿y轴负方向射入电场，且刚好从O点射入磁场，经磁场偏转后刚好平行于x轴从磁场中射出.
(1)求电场强度和磁感应强度的大小;
(2)若该粒子沿y轴负方向射出时的初速度大小为v0，要使该粒子也能从O点进入磁场，且经磁场偏转后刚好平行于x轴从磁场中射出，求该粒子开始射出时的位置坐标.
答案：(1) (2)
解析：(1)粒子从A点射入后做类平抛运动
2L=v0t1
L=vxt1
得vx=v0
粒子在O点的速度大小v1==v0
与x轴负方向的夹角θ满足tan θ==1，θ=45°
从A点到O点，根据动能定理
qEL=mv-mv
得E=
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由于粒子经磁场偏转后，刚好平行于x轴从磁场中射出，其运动轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径等于圆形有界磁场的半径，即r=R
得B=.
(2)由几何关系可知，粒子从O点进入磁场后的速度大小等于v0才能以平行于x轴的方向射出磁场.则粒子进磁场时沿x轴负方向的速度vx==v0
x===L
y=v0t=v0·=v0·=L
因此粒子开始射出时的位置坐标为.
4.(2015·天津理综)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动.真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d.电场强度为E，方向水平向右;磁感应强度为B，方向垂直纸面向里.电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直.一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射.
(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2;
(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sin θn;
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之.
答案：见解析
解析：(1)粒子在进入第2层磁场时，经过两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不做功
由动能定理，有
2qEd=mv
由式解得
v2=2
粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有
qv2B=m
由式解得
r2= .
(2)设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn(各量的下标均代表粒子所在层数，下同)
nqEd=mv
qvnB=m
粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有
vn-1sin θn-1=vnsin αn
由图1可看出
rnsin θn-rnsin αn=d
由式得
rnsin θn-rn-1sin θn-1=d
由式看出r1sin θ1、r2sin θ2、…、rnsin θn为一等差数列，公差为d，可得
rnsin θn=r1sin θ1+(n-1)d
图1 图2
当n=1时，由图2看出
r1sin θ1=d
由式得
sin θn=B .
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则
θn=，sin θn=1
在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为，假设能穿出第n层磁场右侧边界，粒子穿出时速度方向与水平方向的夹角为θ′n，由于>
则导致sin θ′n>1
说明θ′n不存在，即原假设不成立.所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界.
