计算题51分练(6)
1.(15分)如图1所示，左边是一能够发射质量为m、电荷量为q的正离子的离子源，离子的发射速度可以忽略。离子源的S、K电极与一N匝线圈连接，线圈放在一可以均匀变化的磁场中。线圈面积为S，线圈平面与磁感应强度B′的方向垂直。图中所示宽度为d的范围内，存PQ右侧存在垂直纸面向里的范围足够大的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度为B。离子经S、K间电场加速后以初速度v0垂直于电场左边界射入偏转电场，离开右边界虚线PQ时偏转角度为θ，轨迹与边界的交点为M。(不计离子的重力)求：
图1
(1)线圈中磁场的磁感应强度B′的变化率和偏转电场的场强E;
(2)离子再次运动到边界虚线PQ时轨迹与边界的交点到M的距离。
解析 (1)qU=mv(2分)
U=NS(2分)
联立解得：=(1分)
由tan θ=，ma=qE，d=v0t(2分)
E=tan θ①(2分)
(2)由cos θ=解得离子进入匀强磁场时速度的大小
v=②(1分)
离子进入匀强磁场中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有
qvB=m③(2分)
由②③联立解得：R=(1分)
离子再次运动到边界虚线PQ时轨迹与边界的交点到M的距离MN=2Rcos θ=(2分)
答案 (1) tan θ (2)
2.(17分)如图2所示，一个质量为m=15 kg的特制柔软小猴模型，从离地面高h1=6 m的树上自由下落，一辆平板车正沿着下落点正下方所在的平直路面以v0=6 m/s的速度匀速前进。已知模型开始自由下落时，平板车前端恰好运动到距离下落点正下方s=3 m处，该平板车总长L=7 m，平板车板面离地面高h2=1 m，模型可看做质点，不计空气阻力。假定模型落到板面后不弹起，在模型落到板面的瞬间，司机刹车使平板车a=4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，直至停止，g取10 m/s2，模型下落过程中未与平板车车头接触，模型与平板车板面间的动摩擦因数μ=0.2。求：
图2
(1)模型将落在平板车上距车尾端多远处;
(2)通过计算说明，模型是否会从平板车上滑下;
(3)模型在平板车上相对滑动的过程中产生的总热量Q为多少。
解析 (1)设模型经时间t1下落到平板h1-h2=gt①(2分)
平板车在t1时间内前进的距离为x1，则x1=v0t1②(1分)
所以模型在车上的落点距车尾端距离为
s′=L+s-x1=4 m③(1分)
(2)设模型落在车上后做匀加速运动的加速度大小为a1，经过时间t2模型和平板车的速度v，则：
平板车的速度为v=v0-at2④(1分)
模型的速度为v=a1t2⑤(1分)
对模型应用牛顿第二定律得μmg=ma1⑥(2分)
平板车的位移为x2=v0t2-at⑦(1分)
在这段时间内模型的位移为x3=a1t⑧(1分)
联立④⑤⑥⑦⑧可得，在这段时间内模型相对车向后的位移为Δx1=x2-x3=3 m⑨(1分)
由于Δx1<4 m，故模型不会从平板车上滑下⑩(1分)
(3)速度相同后模型和平板车都减速运动直到静止，
平板车的位移为x4=(1分)
模型的位移为x5=(1分)
模型相对车向前的位移为Δx2=x5-x4(1分)
模型在平板上来回摩擦产生的总热量为
Q=μmg(Δx1+Δx2)=105 J(2分)
答案 (1)4 m (2)不会滑下 (3)105 J
3.(19分)如图3所示，足够长的平行金属导轨内有垂直纸面向里的匀强磁场，金属杆ab与导轨垂直且接触良好，导轨右端与电路连接。已知导轨相距为L，磁场的磁感应强度为B，R1、R2和ab杆的电阻值均为r，其余电阻不计，板间距为d、板长为4d，重力加速度为g，不计空气阻力。如果ab杆以某一速度向左匀速运动时，沿两板中心线水平射入质量为m、带电荷量为+q的微粒恰能沿两板中心线射出，如果ab杆以同样大小的速度向右匀速运动时，该微粒将射到B板距其左端d的C处。
图3
(1)求ab杆匀速运动的速度大小v;
(2)求微粒水平射入两板时的速度大小v0;
(3)如果以v0沿中心线射入的上述微粒能够从两板间射出，试讨论ab杆向左匀速运动的速度范围。
解析 (1)设ab杆匀速运动的速度为v，则ab杆产生的电动势为E=BLv①(1分)
两板间的电压为U0=E=②(1分)
ab杆向左匀速运动时：=mg③(1分)
由①②③式得：v=④(1分)
(2)ab杆向右匀速运动时，设带电微粒射入两极板时的速度为v0，向下运动的加速度为a，经时间t射到C点，有：
+mg=ma⑤(2分
微粒做类平抛运动有：d=v0t⑥(1分)
=at2⑦(1分)
由③⑤⑥⑦得：v0=⑧(1分)
(3)要使带电微粒能从两板间射出，设它在竖直方向运动的加速度为a1、时间为t1，应有：
>a1t⑨(1分)
t1=⑩(1分)
由⑧⑨⑩得：a1<(1分)
若a1的方向向上，设ab杆运动的速度为v1，两板电压为：U1=BLv1(1分)
又有：-mg=ma1(1分)
联立v1<⑭(1分)
若a1的方向向下，设ab杆的运动速度为v2，两板电压为：U2=BLv2(1分)
又有：mg-=ma1(1分)
由v2>⑰(1分)
所以ab杆向左匀速运动时速度的大小范围为
