计算题51分练(2)
1.(15分)(2015·海南单科，14)如图1所示，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点。已知h=2 m，s= m。取重力加速度大小g=10 m/s2。
图1
(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径;
(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环c点时速度的水平分量的大小。
解析 (1)一小环在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到b点时的速度水平，小环做平抛运动的轨迹与轨道bc重合，故有s=vbt①(1分)
h=gt2②(2分)
在ab滑落过程中，根据动能定理可得
mgR=mv③(2分)
联立三式可得R==0.25 m(2分)
(2)下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，根据动能定理可得mgh=mv④(2分)
因为物体滑到c点时与竖直方向的夹角等于(1)问中做平抛运动过程中经过c点时速度与竖直方向的夹角相等，设为θ，则根据平抛运动规律可知
sin θ=⑤(2分)
根据运动的合成与分解可得
sin θ=⑥(2分)
联立①②④⑤⑥可得v水平= m/s。(2分)
答案 (1)0.25 m (2) m/s
2.(17分)(2015·四川资阳高三二诊)如图2，足够长斜面倾角θ=30°，斜面上A点上方光滑，A点下方粗糙，μ=，光滑水平面上B点左侧有水平向右的匀强电场E=105 V/m，可视为质点的小物体C、D质量分别为mC=4 kg，mD=1 kg，D带电q=3×10-4C，用细线通过光滑滑轮连在一起，分别放在斜面及水平面上的P和Q点由静止释放，B、Q间距离d=1 mA、P间距离为2d。取g=10 m/s2，求：
图2
(1)物体C第一次运动到A点时的速度v0;
(2)物体C第一次经过A到第二次经过A的时间t。
解析 (1)由题知将C、D两物体释放后C物将沿斜面下滑，C物从P到A过程，对C、D系统由动能定理：
mCg·2dsin θ-Eq·d=(mC+mD)v①(2分)
解①得：v0=2 m/s②(1分)
(2)由题意，C经过A点后将减速下滑至速度为0后又加速上滑，设其加速度大小为a1，向下运动的时间为t1，发生的位移为x1.对物体C：
mCgsin θ-T1-μmCgcos θ=-mCa1③(2分)
t1= ④(1分)
x1=⑤(1分)
对物体D：T1-Eq=-mDa1⑥(2分)
设物体C返回后再加速上滑到A的过程中，加速度大小为a2，时间为t2，有：
对物体C：
T2-μmCgcos θ-mCgsin θ=mCa2⑦(2分)
对D：Eq-T2=mDa2⑧(2分)
x1=a2t⑨(1分)
t=t1+t2⑩(1分)
联解③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩并代入数据得：
t=(+1) s≈1.82 s (2分)
答案 (1)2 m/s (2)1.82 s
3.(19分)如图3所示，空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=0.5 T的匀强磁场，有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内，间距L=0.2 m，右端连接阻值R=0.4 Ω的电阻。质量m=0.1 kg的导体棒ab垂直跨接在导轨上，与导轨间的动摩擦因数μ=0.2。从t=0时刻开始，通过一小型电动机对棒施加一个水平向左的牵引力F，使棒从静止开始沿导轨方向做加速运动，此过程中棒始终保OA是直线，AC是曲线，DE是AC曲线的渐近线)，电动机在12 s末达到额定功率，此后功率保持不变。已知0～12 s内电阻R上产生的热量Q=12.5 J。除R以外其余部分的电阻均不计，取重力加速度大小g=10 m/s2。求：
图3
(1)棒在0～12 s内的加速度大小a;
(2)电动机的额定功率P;
(3)0～12 s内牵引力做的功W。
解析 (1)由图像知t1=12 s时的速度v1=9 m/s(2分)
a==0.75 m/s2。(2分)
(2)当棒达到收尾速度vm=10 m/s后，棒受力平衡，有
F=μmg+BIL(2分)
而I=，P=Fvm(2分)
得P=(μmg+)vm=4.5 W。(3分)
(3)在0～12 s内F是变力，根据动能定理有
W-Wf-WB=mv-0(2分)
而WB=Q，Wf=μmgs(2分)
0～12 s
x=v1t1=×9×12 m=54 m(2分)
解得W=27.35 J。(2分)
答案 (1)0.75 m/s2 (2)4.5 W (3)27.35 J
