一、选择题
1.(2013·南昌模拟)已知双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为( )
(A)1 (B) 1/2(C)2 (D)1/3
2.双曲线-y2=1(n>1)的左、右两个焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为( )
(A) (B)1 (C)2 (D)4
3.(2013·榆林模拟)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线均与圆C:x2+y2-6x+5=0相切，则该双曲线离心率等于( )
(A) 1/2(B) 2(C)1/4 (D)1/5
4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1 (D)-=1
5.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )
(A) 1/2(B)1 (C)1/3 (D)2
6.(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )
(A) 3(B)2 (C)4 (D)8
7.(2013·咸阳模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个顶点与抛物线y2=20x的焦点重合,该双曲线的离心率为,则该双曲线的渐近线斜率为( )
(A)±2 (B)± (C)± (D)±
8.设F1,F2分别是双曲线-y2=1的左、右焦点,P在双曲线上,当△F1PF2的面积为2时,·的值为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
二、填空题
9.(2013·西安模拟)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的离心率为 .
10.(2012·天津高考)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)与双曲线C2:-=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a= ,b= .
11.(能力挑战题)过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为 .
三、解答题
12.(2013·井冈山模拟)已知A,B,P是双曲线-=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA·kPB=,求双曲线的离心率.
13.(2013·安康模拟)已知定点A(1，0)和定直线x=-1上的两个动点E，F，满足⊥，动点P满足∥，∥(其中O为坐标原点).
(1)求动点P的轨迹C的方程.
(2)过点B(0，2)的直线l与(1)中轨迹C相交于两个不同的点M，N，若·<0，求直线l的斜率的取值范围.
14.P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率.
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.
答案解析
1.【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得:
=2,解得:m=3n,又m>0,n>0,
∴m>n,即>,
故由椭圆mx2+ny2=1得+=1.
∴所求椭圆的离心率为:e===.
【误区警示】本题极易造成误选而失分,根本原因是由于将椭圆mx2+ny2=1焦点所在位置弄错,从而把a求错造成.
2.【解析】选B.不妨设点P在双曲线的右支上,则
|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|+|PF2|=2,
∴|PF1|=+,|PF2|=-,
又c=,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴∠F1PF2=90°,
∴=|PF1||PF2|=1.
3.【解析】选A.圆的标准方程为(x-3)2+y2=4，所以圆心坐标为C(3，0)，半径r=2，双曲线的渐近线为y=±x，不妨取y=x，即bx-ay=0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d==2，
即9b2=4(a2+b2)，所以5b2=4a2，
b2=a2=c2-a2，即a2=c2，所以e2=，e=，选A.
4.【解析】选B.由题意可知
解得
所以双曲线的方程为-=1.
5.【解析】选D.因为焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样,所以不妨设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则双曲线的渐近线的斜率k=±,一个焦点坐标为F(c,0),一个虚轴的端点为B(0,b),所以kFB=-,又因为直线FB与双曲线的一条渐近线垂直,所以k·kFB=(-)=-1(k=-显然不符合),
即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,
即e2-e-1=0,解得e=(负值舍去).
【变式备选】双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则的最小值为( )
(A) (B) (C)2 (D)1
【解析】选A.因为双曲线的离心率为2,所以=2,
即c=2a,c2=4a2;
又因为c2=a2+b2,
所以a2+b2=4a2,即b=a,
因此==a+≥2=,当且仅当a=,即a=时等号成立.
故的最小值为.
6.【解析】选C.不妨设点A的纵坐标大于零.
设C:-=1(a>0),
∵抛物线y2=16x的准线为x=-4,
联立得方程组
解得:A(-4,),B(-4,-),
∴|AB|=2=4,解得a=2,∴2a=4.
∴C的实轴长为4.
7.【解析】选C.由抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),可得双曲线-=1的一个顶点坐标为(5,0),
即得a=5,又由e===,解得c=.
则b2=c2-a2=,即b=,由此可得双曲线的渐近线的斜率为k=±=±.
8.【解析】选B.设点P(x0,y0),依题意得,
|F1F2|=2=4,
=|F1F2|×|y0|=2|y0|=2,∴|y0|=1,
又-=1,∴=3(+1)=6,
∴·=(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)
=+-4=3.
9.【解析】由已知椭圆离心率为,
所以有==,得()2=,而双曲线的离心率为===.
答案:
10.【解析】由题意可得解得:a=1,b=2.
答案:1 2
11.【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点F,A,B的坐标,由点M在圆内部列不等式求解.
【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),右焦点F坐标为F(c,0),令A(c,),B(c,-),
所以以AB为直径的圆的方程为(x-c)2+y2=.
又点M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)2+0<,
即a+c<⇒a2+ac0(e=),解得:e>2或e<-1.
又e>1,∴e>2.
答案:(2,+∞)
12.【解析】设A(m,n),P(x0,y0),则B(-m,-n),
∵A,B,P在双曲线上,
∴-=1,(1)
-=1,(2)
(2)-(1)得:=⇒=,
kPA·kPB=·===⇒e====.
13.【解析】(1)设P(x，y)，E(-1，y1)，F(-1，y2)(y1，y2均不为0).
由∥得y1=y，即E(-1，y)，
由∥得y2=-，即F(-1，-)，
由⊥得·=0(-2，y1)·(-2，y2)=0y1y2=-4y2=4x(x≠0)，
∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≠0).
(2)由已知知直线l斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2(k≠0)，M(，y1)，
N(，y2)，
联立得消去x得ky2-4y+8=0，
∴y1+y2=，y1y2=，
且Δ=16-32k>0，即k<，
∴·=(-1，y1)·(-1，y2)
=(-1)·(-1)+y1y2
=-(+)+y1y2+1
=-(-)++1=.
∵·<0，∴-12
