8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c有下列命题：
①若A>B>C，则sin A>sin B>sin C;
②若==，则△ABC为等边三角形;
③若sin 2A=sin 2B，则△ABC为等腰三角形;
④若(1+tan A)(1+tan B)=2，则△ABC为钝角三角形;
⑤存在A，B，C使得tan Atan Btan CB>C，则a>b>csin A>sin B>sin C;
若==，则=sin(A-B)=0A=Ba=b，同理可得a=c，所以△ABC为等边三角形;若sin 2A=sin 2B，则2A=2B或2A+2B=π，因此△ABC为等腰或直角三角形;若(1+tan A)(1+tan B)=2，则tan A+tan B=1-tan Atan B，因此tan(A+B)=1C=，△ABC为钝角三角形;在△ABC中，tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C恒成立，因此正确的命题为①②④.
9.若△ABC的三边a，b，c及面积S满足S=a2-(b-c)2，则sin A=________.
答案
解析 由余弦定理得S=a2-(b-c)2=2bc-2bccos A=bcsin A，所以sin A+4cos A=4，由sin2A+cos2A=1，解得sin2A+(1-)2=1，sin A=(0舍去).
10.若tan θ=3，则cos2θ+sin θcos θ=________.
答案
解析 ∵tan θ=3，
∴cos2θ+sin θcos θ=
===.
11.已知单位向量a，b，c，且a⊥b，若c=ta+(1-t)b，则实数t的值为________.
答案 1或0
解析 c=ta+(1-t)bc2=t2+(1-t)2=|c|2=1t=0或t=1.
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos A=(2c+a)cos(A+C).
(1)求角B的大小;
(2)求函数f(x)=2sin 2x+sin(2x-B)(x∈R)的最大值.
解 (1)由已知，bcos A=(2c+a)cos(π-B)，
即sin Bcos A=-(2sin C+sin A)cos B，
即sin(A+B)=-2sin Ccos B，
则sin C=-2sin Ccos B，
∴cos B=-，即B=.
(2)f(x)=2sin 2x+sin 2xcos -cos 2xsin
=sin 2x-cos 2x=sin(2x-)，
当2x-=+2kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值，
即x=+kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值.
13.已知函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且锐角A满足f(A)=1，b=，c=3，求a的值.
解 (1)f(x)=2sin xcos x-2cos2x+1
=sin 2x-cos 2x=sin(2x-)，
所以f(x)的最小正周期为π.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)，
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)，
所以f(x)的单调增区间为[kπ-，kπ+](k∈Z).
(2)由题意知f(A)=sin(2A-)=1，
sin(2A-)=，
又∵A是锐角，∴2A-=，∴A=，
由余弦定理得a2=2+9-2××3×cos =5，∴a=.
