(一)1.已知函数f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在[0，]上的最大值为，当把f(x)的图象上的所有点向右平移φ(0<φ<)个单位后，得到图象对应函数g(x)的图象关于直线x=对称.
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知g(x)在y轴右侧的第一个零点为C，若c=4，求△ABC的面积S的最大值.
解 (1)由题意知，函数f(x)在区间[0，]上单调递增，
∴2sin =，
∴=2kπ+，k∈Z，
得ω=4k+，k∈Z.
经验证当k=0时满足题意，故求得ω=，
∴g(x)=2sin(x-)，
故×-φ=kπ+，k∈Z，
∴φ=-2kπ+，k∈Z，又0<φ<，
∴φ=.故g(x)=2sin(-).
(2)根据题意，得-=kπ，k∈Z，
∴x=2kπ+，k∈Z，∴C=.
又c=4，得16=a2+b2-2abcos ，
∴a2+b2=16+ab≥2ab，
∴ab≤32+16，
∴S=absin C=ab≤8+4，
∴S的最大值为8+4.
2.四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC=.
(1)设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB;
(2)求证：SA⊥BC;
(3)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值.
(1)证明 ∵底面ABCD为平行四边形，∴AB∥CD.
∵AB平面SCD，CD平面SCD，
∴AB∥平面SCD，
又∵平面SCD与平面SAB的交线为l，
∴l∥AB.
(2)证明 连结AC.
∵∠ABC=45°，AB=2，BC=2，
由余弦定理得AC=2，
∴AC=AB.
取BC中点G，连结SG，AG，则AG⊥BC.
∵SB=SC，∴SG⊥BC，
∵SG∩AG=G，∴BC⊥平面SAG，
∴BC⊥SA.
(3)解 如图，以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，
则A(，0,0)，B(0，，0)，S(0,0,1)，D(，-2，0).
∴=(，-2，0)-(0,0,1)=(，-2，-1)，
=(，0,0)-(0,0,1)=(，0，-1)，
=(，0,0)-(0，，0)=(，-，0).
设平面SAB法向量为n=(x，y，z)，
有
令x=1，则y=1，z=，n=(1,1，)，
cos〈n，〉= ==-.
∴直线SD与平面SAB所成角的正弦值为.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n(n∈N*)，数列{an}满足an=4log2bn+3(n∈N*).
(1)求an，bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解 (1)由Sn=2n2+n，得a1=S1=3;
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n-1.
又a1=3也适合上式.
所以an=4n-1，n∈N*，
由4n-1=an=4log2bn+3，得bn=2n-1，n∈N*.
(2)由(1)知anbn=(4n-1)2n-1，n∈N*.
所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)2n-1，
所以2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)2n-1+(4n-1)2n，
所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]
=(4n-5)2n+5.
故Tn=(4n-5)2n+5，n∈N*.
