7.4。解析：由题意点M的坐标可求得为M(3，±)，双曲线的右焦点的坐标为F2(4，0)。
由两点间的距离公式得|F2M|==4。
8.解析：如图所示，设双曲线方程为=1，取其上一点P(m，n)，
则Q(m，-n)，由=0可得(a-m，-n)·(m+a，-n)=0，
化简得a2-m2+n2=0。
又=1可得b=a，
故双曲线的离心率为e=。
9.(1)解：因为e=，
所以可设双曲线方程为x2-y2=λ。
因为双曲线过点(4，-)，
所以16-10=λ，即λ=6。
所以双曲线方程为=1。
(2)证明：由(1)可知，在双曲线中a=b=，所以c=2。
所以F1(-2，0)，F2(2，0)。
所以=(-2-3，-m)，
=(2-3，-m)，
则=9-12+m2=m2-3。
因为点(3，m)在双曲线上，
所以9-m2=6，即m2=3。
所以=m2-3=0。
(3)解：由 (2)知F1MF2的高h=|m|=，由F1MF2的底边|F1F2|=4，
则=6。
10.解：(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=。
又焦距2c=4，所以虚半轴长b=。
所以W的方程为=1(x≥)。 (2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)。
当ABx轴时，x1=x2，y1=-y2，
从而=x1x2+y1y2==2。
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1)，与W的方程联立，消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0，
则x1+x2=，x1x2=，
所以=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=+m2
==2+。
又因为x1x2>0，所以k2-1>0。
所以>2。
综上所述，当ABx轴时，取得最小值2。
11.C。解析：设等轴双曲线方程为x2-y2=m(m>0)，
因为抛物线的准线为x=-4，
且|AB|=4，所以|yA|=2。
把坐标(-4，2)代入双曲线方程得m=x2-y2=16-12=4，
所以双曲线方程为x2-y2=4，
即=1。
所以a2=4，所以实轴长2a=4。
12.B。解析：设PF1F2内切圆半径为r，根据已知可得×|PF1|×r=×|PF2|×r+×2c×r，
整理可得|PF1|=|PF2|+2λc。
由双曲线的定义可得
|PF1|-|PF2|=2a，
则2λc=2a，故λ=。
13.B。解析：由a2+1=4，得a=，
则双曲线方程为-y2=1。
设点P(x0，y0)，则=1，
即-1。
=x0(x0+2)+
=+2x0+-1
=，
x0≥，∴当x0=时，取最小值3+2.故的取值范围是[3+2，+∞)。
14.。解析：双曲线=1的两条渐近线方程分别是y=x和y=-x。
由解得A，
由解得B。
设AB中点为E，则E。
由于|PA|=|PB|，所以PE与直线x-3y+m=0垂直，
而kPE=，
于是=-1。所以a2=4b2=4(c2-a2)。
所以4c2=5a2，解得e=。
15.解：(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2=2，2a1=2.从而a1=1，c2=1。
因为点P在双曲线x2-=1上，所以=1。故=3。
由椭圆的定义知2a2=2。
于是a2=2。
故C1，C2的方程分别为x2-=1，=1。
(2)不存在符合题设条件的直线。
若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x=或x=-。
当x=时，易知A()，B(，-)，
所以||=2，||=2。
此时，||≠||。
当x=-时，
同理可知，||≠||。
若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y=kx+m。
由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0。
当l与C1相交于A，B两点时，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根，
从而x1+x2=，x1x2=。
于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=。
由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0。
因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0。
化简，得2k2=m2-3，
因此=x1x2+y1y2=≠0，
于是+2-2，
即||≠||，
故||≠||。
综合，②可知，不存在符合题设条件的直线。
16.解法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x，y=-2x，
所以=2，所以=2，
故c=a，
从而双曲线E的离心率e=。
(2)由(1)知，双曲线E的方程为=1。
设直线l与x轴相交于点C。
当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，
则|OC|=a，|AB|=4a，
又因为OAB的面积为8，
所以|OC|·|AB|=8，
因此a·4a=8，解得a=2，
此时双曲线E的方程为=1。
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为=1。
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E:=1也满足条件。
设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k>2或k<-2，则C。
记A(x1，y1)，B(x2，y2)。
由得y1=，
同理得y2=，
由SOAB=|OC|·|y1-y2|=8，
即m2=4|4-k2|=4(k2-4)。
由得，(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0。
因为4-k2<0，
Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16)，又m2=4(k2-4)，
所以Δ=0，即l与双曲线E有且只有一个公共点。
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为=1。
解法二：(1)同解法一。
