一、非标准1.D 解析:设点B的坐标为(x,y),
则=(x+1,y-5).
由=3a,得
解得
2.A 解析:由于a+λb=(1+λ,2),故(a+λb)c⇒4(1+λ)-6=0,解得λ=,故选A.
3.D 解析:由正方形ABCD的性质知,故=(1,0),
=(0,1)+(1,0)=(1,1).
4.C 解析:设P(x,y),则由||=2||,得=2=-2=(2,2),=(x-2,y),
即(2,2)= 2(x-2,y),x=3,y=1,P(3,1),或(2,2)= -2(x-2,y),x=1,y=-1,P(1,-1).
5. 解析:|b|=,
由λa+b=0,得b=-λa,
故|b|=|-λa|=|λ||a|,
所以|λ|=.
6.(-1,1)或(-3,1) 解析:由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或(-1,0),则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1),或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).
7.2015∶12 解析:3a+4b+5c=0,
∴3a()+4b+5c=0.
∴(3a-5c)+(3a-4b)=0.
在ABC中,不共线,
解得
a∶b∶c=a∶a∶a=20∶15∶12.
8.解:假设存在实数k,则ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2).
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
若向量ka+b与向量a-3b共线,
则必有(k-3)×(-4)-(2k+2)×10=0,解得k=-.
这时ka+b=,
所以ka+b=-(a-3b).
即两个向量恰好方向相反,故题设的实数k存在.
9.解:设顶点D(x,y).若平行四边形为ABCD,则由=(1,5),
=(-3-x,4-y),
得所以
若平行四边形为ACBD,则由=(-7,2),
=(5-x,7-y),
得所以
若平行四边形为ABDC,则由=(1,5),
=(x+3,y-4),得所以
综上所述,第四个顶点D的坐标为(-4,-1)或(12,5)或(-2,9).
10.A 解析:设AC,BC的中点分别为M,N,则已知条件可化为()+2()=0,即+2=0,所以=-2.说明M,O,N共线,即O为中位线MN上的三等分点,
SAOC=S△ANC=S△ABC=S△ABC,所以=3.
11.(2,4) 解析:在梯形ABCD中,DC=2AB,
=2.
设点D的坐标为(x,y),则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),=(2,1)-(1,2)=(1,-1),
(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),
解得
故点D的坐标为(2,4).
12.解:由题设,知=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
若a,b共线,则t可为任意实数;
若a,b不共线,则有解之得t=.
综上,可知a,b共线时,t可为任意实数;a,b不共线时,t=.
13.解:(1)由于=a,=b,
则=a+b,a+b.
=λ=λ,
=μ=μ,,
即a+μ=λ.
解得λ=,μ=.
(2)
=-a+
=-a+b.
(3)设ABC,△PAB,△PBC的高分别为h,h1,h2,
h1h=||∶||=μ=,S△PAB=S△ABC=8.
h2∶h=||∶||=1-λ=,S△PBC=S△ABC=2,
∴S△PAC=4.
