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2018年高考数学基础练习试题及答案(2)

中华考试网  2017-11-18  【

2018年高考数学基础练习试题及答案(2)

  一、选择题

  1.若点P是两条异面直线l,m外的任意一点,则(  )

  A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行

  B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直

  C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交

  D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面

  答案:B 命题立意:本题考查异面直线的几何性质,难度较小.

  解题思路:因为点P是两条异面直线l,m外的任意一点,则过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直,故选B.

  2.如图,P是正方形ABCD外一点,且PA平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(  )

  A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直

  B.它们两两垂直

  C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直

  D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直

  答案:A 解题思路: DA⊥AB,DAPA,AB∩PA=A,

  DA⊥平面PAB,又DA平面PAD, 平面PAD平面PAB.同理可证平面PAB平面PBC.把四棱锥P-ABCD放在长方体中,并把平面PBC补全为平面PBCD1,把平面PAD补全为平面PADD1,易知CD1D即为两个平面所成二面角的平面角,CD1D=APB,

  CD1D<90°,故平面PAD与平面PBC不垂直.

  3.设α,β分别为两个不同的平面,直线lα,则“lβ”是“αβ”成立的(  )

  A.充分不必要条件

  B.必要不充分条件

  C.充要条件

  D.既不充分也不必要条件

  答案:A 命题立意:本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件的判断,意在考查考生的逻辑推理能力.

  解题思路:依题意,由lβ,lα可以推出αβ;反过来,由αβ,lα不能推出lβ.因此“lβ”是“αβ”成立的充分不必要条件,故选A.

  4.若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列结论正确的是(  )

  A.若m,n都平行于平面α,则m,n一定不是相交直线

  B.若m,n都垂直于平面α,则m,n一定是平行直线

  C.已知α,β互相垂直,m,n互相垂直,若mα,则nβ

  D.m,n在平面α内的射影互相垂直,则m,n互相垂直

  答案:B 解题思路:本题考查了空间中线面的平行及垂直关系.在A中:因为平行于同一平面的两直线可以平行,相交,异面,故A为假命题;在B中:因为垂直于同一平面的两直线平行,故B为真命题;在C中:n可以平行于β,也可以在β内,也可以与β相交,故C为假命题;在D中:m,n也可以不互相垂直,故D为假命题.故选B.

  5.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动,另一端点N在正方形ABCD内运动,则MN的中点的轨迹的面积为(  )

  A.4π B.2π

  C.π D.-π

  答案:

  D 解题思路:本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.如图可知,端点N在正方形ABCD内运动,连接ND,由ND,DM,MN构成一个直角三角形,设P为NM的中点,根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得,不论MDN如何变化,点P到点D的距离始终等于1.故点P的轨迹是一个以D为中心,半径为1的球的球面,其面积为.

  技巧点拨:探求以空间图形为背景的轨迹问题,要善于把立体几何问题转化到平面上,再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解,实现立体几何到解析几何的过渡.

  6.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:

  直线BE与直线CF是异面直线;直线BE与直线AF是异面直线;直线EF平面PBC;平面BCE平面PAD.

  其中正确结论的序号是(  )

  A.1 B.1

  C. 3D.4

  答案:

  B 解题思路:本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系.画出几何体的图形,如图,由题意可知,直线BE与直线CF是异面直线,不正确,因为E,F分别是PA与PD的中点,可知EFAD,所以EFBC,直线BE与直线CF是共面直线;直线BE与直线AF是异面直线,满足异面直线的定义,正确;直线EF平面PBC,由E,F是PA与PD的中点,可知EFAD,所以EFBC,因为EF平面PBC,BC平面PBC,所以判断是正确的;由题中条件不能判定平面BCE平面PAD,故不正确.故选B.

  技巧点拨:翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来,然后考查立体几何的常见问题:垂直、角度、距离、应用等问题.此类问题考查学生从二维到三维的升维能力,考查学生空间想象能力.解决该问题时,不仅要知道空间立体几何的有关概念,还要注意到在翻折的过程中哪些量是不变的,哪些量是变化的.

  二、填空题

  7.如图,四边形ABCD为菱形,四边形CEFB为正方形,平面ABCD平面CEFB,CE=1,AED=30°,则异面直线BC与AE所成角的大小为________.

  答案:45° 解题思路:因为BCAD,所以EAD就是异面直线BC与AE所成的角.

  因为平面ABCD平面CEFB,且ECCB,

  所以EC平面ABCD.

  在RtECD中,EC=1,CD=1,故ED==.

  在AED中,AED=30°,AD=1,由正弦定理可得=,即sin EAD===.

  又因为EAD∈(0°,90°),所以EAD=45°.

  故异面直线BC与AE所成的角为45°.

  8.给出命题:

  异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线;

  两异面直线a,b,如果a平行于平面α,那么b不平行于平面α;

  两异面直线a,b,如果a平面α,那么b不垂直于平面α;

  两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线.

  上述命题中,真命题的序号是________.

  答案: 解题思路:本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系.根据异面直线的定义知:异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线,故命题为真命题;两条异面直线可以平行于同一个平面,故命题为假命题;若bα,则ab,即a,b共面,这与a,b为异面直线矛盾,故命题为真命题;两条异面直线在同一个平面内的射影可以是:两条平行直线、两条相交直线、一点一直线,故命题为假命题.

  9.如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上,则该正六棱锥的体积的最大值为________.

  答案:16 命题立意:本题以球的内接组合体问题引出,综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数最值的方法,同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力.

  解题思路:设球心到底面的距离为x,则底面边长为,高为x+3,正六棱锥的体积V=×(9-x2)×6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27),其中0≤x<3,则V′=(-3x2-6x+9)=0,令x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3(舍),故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16.

  10.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上,球心O在AB上,PO平面ABC,=,则三棱锥与球的体积之比为________.

  答案: 命题立意:本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积计算方法,意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力.

  解题思路:依题意,AB=2R,又=,ACB=90°,因此AC=R,BC=R,三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=PO·SABC=×R××R×R=R3.而球的体积V球=R3,因此VP-ABCV球=R3R3=.

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