1.在等比数列{an}中，若a1=，a4=3，则该数列前五项的积为( )
A.±3B.3
C.±1D.1
答案 D
解析 因为a4=a1q3,3=×q3，q=3，
所以a1a2a3a4a5=a=(a1q2)5=(×9)5=1，故选D.
2.已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为( )
A.-2B.-3
C.2D.3
答案 D
解析 a1=a2-2，a5=a2+6，
∴a=a1a5=(a2-2)(a2+6)，解得a2=3，故选D.
3.等差数列{an}的前n项和为Sn，若=，则等于( )
A.2B.C.D.
答案 C
解析 当n=3时，==，
∴=.故选C.
4.已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2)an+sin2，则该数列的前12项和为( )
A.211B.212
C.126D.147
答案 D
解析 ∵a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2)an+sin2，
∴a3=a1+1=2，a4=2a2=4，…，a2k-1=a2k-3+1，a2k=2a2k-2 (k∈N*，k≥2).
∴数列{a2k-1}成等差数列，数列{a2k}成等比数列.
∴该数列的前12项和为(a1+a3+…+a11)+(a2+a4+…+a12)=(1+2+…+6)+(2+22+…+26)=+=21+27-2=147.故选D.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a7+a12=24，则S13等于( )
A.52B.78
C.104D.208
答案 C
解析 由a2+a7+a12=24，得a7=8，
所以，S13==13a7=104，故选C.
6.正项等比数列{an}中的a1，a4031是函数f(x)=x3-4x2+6x-3的极值点，则loga2016等于( )
A.1B.2
C.D.-1
答案 A
解析 ∵f′(x)=x2-8x+6，∴a1·a4031=6，
∴a=6，∵a2016>0，
∴a2016=，loga2016=1.
7.设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=(an-1)(n∈N*)，则an等于( )
A.3(3n-2n) B.3n+2
C.3nD.3·2n-1
答案 C
解析 由已知得，
解得
代入选项检验，只有C符合.
8.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A.1升B.升
C.升D.升
答案 B
解析 设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，
a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3，①3a1+21d=4，②
②×4-①×3得：66d=7，解得d=，
代入①得：a1=，则a5=+(5-1)×=.
9.已知数列{an}满足a1=1，an+1·an=2n (n∈N*)，则S2015等于( )
A.22015-1B.21009-3
C.3×21007-3D.21008-3
答案 B
解析 ∵a1=1，an+1·an=2n，∴a2=2，
∴当n≥2时，an·an-1=2n-1，
∴==2，
∴数列{an}中奇数项、偶数项分别成等比数列，
∴S2015=+=21009-3，故选B.
10.已知数列{an}的通项公式为an=log2 (n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<-5成立的自然数n( )
A.有最小值63B.有最大值63
C.有最小值31D.有最大值31
答案 A
解析 ∵an=log2(n∈N*)，
∴Sn=a1+a2+a3+…+an
=log2+log2+…+log2
=log2(××…×)=log2，
又因为Sn<-5=log2<⇒n>62，
故使Sn<-5成立的正整数n有最小值63.故选A.
