16.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=+2(n-1)(nN+).
(1)求证:数列{an}为等差数列,并求an与Sn;
(2)是否存在自然数n,使得S1++…+-(n-1)2=2015?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.
一、非标准
1.A 解析:an=an-1+2(n≥2),
∴an-an-1=2.
又a1=1,∴数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列,
故a7=1+2×(7-1)=13.
2.B 解析:S9==27.
3.A 解析:设等差数列{an}的公差为d,
则依题意得由此解得
所以a6=a1+5d=7,a1a6=14.
4.C 解析:由题意得3a6=15,a6=5.
所以a3+a4+…+a9=7a6=7×5=35.
5.C 解析:设等差数列{an}的公差为d,
a11-a8=3d=3,∴d=1.
∵S11-S8=a11+a10+a9=3a1+27d=3,
∴a1=-8,∴令an=-8+(n-1)>0,解得n>9.
因此使an>0的最小正整数n的值是10.
6.C 解析:由已知Sn-Sn-1=2,可得=2,
{}是以1为首项,2为公差的等差数列,
故=2n-1,Sn=(2n-1)2,
a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.
7.8 解析:由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0;而a7+a10=a8+a9<0,故a9<0.所以数列{an}的前8项和最大.
8.10 解析:设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S9-S4=0,
即a5+a6+a7+a8+a9=0,5a7=0,故a7=0.
而ak+a4=0=2a7,故k=10.
9.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0,
由等差数列的性质,得a2+a5=a3+a4=22,
所以a3,a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解,
所以a3=9,a4=13.
易知a1=1,d=4,故所求通项为an=1+(n-1)×4=4n-3.
(2)由(1)知Sn==2n2-n,
所以bn=.
(方法一)所以b1=,b2=,b3=(c≠0).
令2b2=b1+b3,解得c=-.
当c=-时,bn==2n,
当n≥2时,bn-bn-1=2.
故当c=-时,数列{bn}为等差数列.
(方法二)bn=.
c≠0,∴可令c=-,得到bn=2n.
bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N+),
∴数列{bn}是公差为2的等差数列.
故存在一个非零常数c=-,使数列{bn}也为等差数列.
