一、选择题
1.(文)(2013·朝阳一模)已知函数y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=lgx，则f(f())的值等于( )
A. lg1B.-lg1
C.lg2 D.-lg2
[答案] D
[解析] 当x<0时，-x>0，则f(-x)=lg(-x).
又函数为奇函数，f(-x)=-f(x)，
f(x)=-lg(-x).
f()=lg=-2，f(f())=f(-2)=-lg2.
(理)(2013·辽宁文，7)已知函数f(x)=ln(-3x)+1，则f(lg2)+f(lg)=( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
[答案] D
[解析] 本题主要考查函数的性质与换底公式.
f(x)=ln(-3x)+1=-ln(+3x)+1，
f(-x)=ln(+3x)+1，f(x)+f(-x)=2，
又lg=-lg2，f(lg2)+f(lg)=2，故选D.
2.已知f(x)=2x，则函数y=f(|x-1|)的图象为( )
[答案] D
[解析] 法一：f(|x-1|)=2|x-1|.
当x=0时，y=2.可排除A、C.
当x=-1时，y=4.可排除B.
法二：y=2x→y=2|x|→y=2|x-1|，经过图象的对称、平移可得到所求.
3.(2014·新课标文，5)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
[答案] C
[解析] 本题考查函数的奇偶性.
由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，得
f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x).
f(x)·g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，
f(x)|g(x)|是奇函数，|f(x)g(x)|是偶函数，选C.
4.(2013·山东文，5)函数f(x)=+的定义域为( )
A.(-3,0] B.(-3,1]
C.(-∞，-3)(-3,0] D.(-∞，-3)(-3,1]
[答案] A
[解析] 本题考查了定义域的求法.
由题意知即即
30，00，所以f(-x)=-x(1-x)，又f(x)为奇函数，所以当x<0时有f(x)=x(1-x)，当a≥0时，f(a)=a(a+1)=-2，无解;当a<0时，f(a)=a(1-a)=-2，得a2-a-2=0，解得a=-1或a=2(舍去)，综上知a=-1.
8.(2014·吉林市质检)已知函数f(x)=，则f[f()]=________.
[答案]
[解析] f()=log4=-1，f[f()]=f(-1)=3-1=.
9.(2014·唐山市一模)函数y=log3(2cosx+1)，x(-，)的值域为________.
[答案] (-∞，1]
[解析] x∈(-，)，cosx∈(-，1]，
2cosx+1(0,3]，log3(2cosx+1)≤log33=1.
10.(2013·北京海淀区期中)已知函数f(x)=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
[答案] 1时，f(x)>g(x)恒成立，故选C.
12.(文)(2014·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)+g(1)=( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
[答案] C
[解析] 本题考查函数的奇偶性.
分别令x=1和x=-1可得f(1)-g(1)=3且f(-1)-g(-1)=1f(1)+g(1)=1，则
⇒f(1)+g(1)=1，故选C.
(理)(2013·江西八校联考)已知f(x)=，则f(2013)等于( )
A.-1 B.2
C.0 D.1
[答案] D
[解析] 2013=403×5-2，f(2013)=f(-2)=log22=1.
13.(文)(2013·福建质检)函数f(x)=logcosx(-0，排除D，故选C.
解法2：利用复合函数单调性的判断方法，由于u=cosx在区间(-，0)、(0，)上分别为增函数和减函数，而y=logu为减函数，故复合函数f(x)=logcosx在区间(-，0)、(0，)上分别为减函数和增函数，故选C.
(理)(2013·北京东城训练)已知定义在R上的函数f(x)的对称轴为x=-3，且当x≥-3时，f(x)=2x-3.若函数f(x)在区间(k-1，k)(kZ)上有零点，则k的值为( )
A.2或-7 B.2或-8
C.1或-7 D.1或-8
[答案] A
[解析] f(1)=-1<0，f(2)=1>0，f(x)在(1,2)上有零点，又f(x)的图象关于直线x=-3对称，
f(x)在(-8，-7)上有零点，k=2或-7.
14.(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知f(x+1)为偶函数，且f(x)在区间(1，+∞)上单调递减，a=f(2)、b=f(log32)、c=f()，则有 ( )
A.a>0>log32，f(2)0时，y=f(x)与y=lnx的图象有4个交点.故选D.
(理)(2014·河北衡水中学模拟)设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)=2008，且对任意xR，满足f(x+2)-f(x)≤3·2x，f(x+6)-f(x)≥63·2x，则f(2008)=( )
A.22006+2007 B.22008+2006
C.22008+2007 D.22006+2008
[答案] C
[解析] 由题意f(2008)≤f(2006)+3×22006≤f(2004)+3×22006+3×22004≤…≤f(0)+3×(22006+22004+…+22+20)=2008+3×=2007+22008
f(2008)≥f(2002)+63×22002≥f(1996)+63×21996≥…≥f(4)+63×(22002+21996+…+24)
=f(4)+63×=f(4)+22008-24
又由条件f(x+2)-f(x)≤3·2x，f(x+6)-f(x)≥63·2x，
可得f(x+6)-f(x+2)≥60·2x=15·2x+2
即f(x+4)-f(x)≥15·2x
再由f(x+2)-f(x)≤3·2x得f(x+4)-f(x+2)≤3·2x+2
两式相加得f(x+4)-f(x)≤15·2x，
f(x+4)-f(x)=15·2x
f(4)-f(0)=15，f(4)=f(0)+15=2023，代入解得f(2008)≥2007+22008
由得f(2008)=2007+22008.
二、填空题
17.(文)设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)=，则实数a的取值范围是________.
[答案] (-1，)
[解析] f(x+3)=f(x)，f(-x)=-f(x)，得f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1)，又f(1)>1，所以f(2)<-1，即<-1，解得-10)上的奇函数，令g(x)=af(x)+b，并有关于函数g(x)的四个论断：
若a>0，对于[-1,1]内的任意实数m、n(m0恒成立;
函数g(x)是奇函数的充要条件是b=0;
a∈R，g(x)的导函数g′(x)有两个零点;
若a≥1，b<0，则方程g(x)=0必有3个实数根;
其中所有正确结论的序号是________.
[答案]
[解析] g(x)=af(x)+b，=，由图知对于f(x)在[-1,1]上任意两点A(m，f(m))，B(n，f(n))，有kAB=>0，又a>0，>0恒成立，故正确;
g(x)为奇函数g(-x)=-g(x)af(-x)+b=-af(x)-b2b=-a[f(-x)+f(x)]，f(x)为奇函数，f(-x)+f(x)=0，故g(x)为奇函数b=0，故正确;
g′(x)=af ′(x)，由图知f(x)在[-c，c]上减、增、减，f ′(x)在[-c，c]上取值为负、正、负，从而当a≠0时，g′(x)=0在[-c，c]上与x轴必有两个交点，又a=0时，g′(x)=0在[-c，c]上恒成立，a∈R，g′(x)在[-c，c]上有两个零点，故正确;
取a=1，b=-5，则g(x)=f(x)-5与x轴无交点，方程g(x)=0无实根，错误.
三、解答题
19.已知函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+，且f()=0，当x>时，f(x)>0.
(1)求f(1);
(2)判断f(x)的增减性并证明.
[解析] (1)令x=y=，得f(1)=f()+f()+=.
(2)f(x)为增函数，证明：任取x1、x2R，且x2>x1，Δx=x2-x1>0，则：
Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)=f(Δx)+f(x1)+-f(x1)=f(Δx)+=f(Δx)+f()+=f(Δx+)，
又Δx>0，Δx+>，f(Δx+)>0，
f(x2)>f(x1)，f(x)在R上是增函数.
